升级增分训练 定点、定值、证明问题1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB求证：原点O到直线AB的距离为定值 ，并求出该定值解：(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到直线AB的距离为当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB，得kOAkOB1，即1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，满足0所以原点O到直线AB的距离为综上，原点O到直线AB的距离为定值2(2017湖南省东部六校联考)设椭圆C1：1(ab0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF1F2的周长是42(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足，连接AC交DE于点P，求证：PDPE解：(1)由e，知，所以ca，因为PF1F2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为y21(2)证明：由(1)得A(2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得(x02)y12y0，即y1所以直线AC的方程为：整理得y(x2)又点P在直线DE上，将xx0代入直线AC的方程可得y，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，所以PDPE3椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为，所以，解得c1又e，解得a2，所以b2a2c23所以所求椭圆C的方程为1(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化简，得34k2m20所以x1x2，x1x2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，则kADkBD1，所以1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以40化为7m216mk4k20，解得m12k，m2，满足34k2m20当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点综上可知，直线l过定点4(2016南昌一模)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线xy210与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2k3k4求k1k2的值；求|OB|2|OC|2的值解：(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0)，则c2a2b2(c0)由题意可得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2，圆心到直线xy210的距离da(*)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，bc，a2c，把a2c代入(*)式得c1，b，a2，故所求椭圆的方程为1(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，y1)，于是k1k2由及题意知，k3k4k1k2，故y1y2x1x2xxyy(4x)(4x)，即xx164(xx)xx，xx4又2，故yy3|OB|2|OC|2xyxy75