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【2019最新】精选高考数学一轮复习第七章立体几何分层限时跟踪练40(限时40分钟)一、选择题1给出以下命题,其中错误的是()A如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面B垂直于同一平面的两条直线互相平行C垂直于同一直线的两个平面互相平行D两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面【解析】一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线,但这条直线不垂直这个平面【答案】A2设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是()A若lm,m,则lB若l,lm,则mC若l,m,则lmD若l,m,则lm【解析】根据定理:两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,可知B正确【答案】B3(2015葫芦岛模拟)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A且lB且lC与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l【解析】由m 平面,直线l满足lm,且l,所以l,又n平面,ln,l,所以l.由直线m,n为异面直线,且m平面,n平面,则与相交,否则,若则推出mn,与m,n异面矛盾故与相交,且交线平行于l.【答案】D4(2015长春模拟)设、为平面,m、n、l为直线,则m的一个充分条件是()A,l,mlBm,C,mDn,n,m【解析】,l,ml,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m,故不正确;m,而与可能平行,也可能相交,则m与不一定垂直,故不正确;,m,而与可能平行,也可能相交,则m与不一定垂直,故不正确;n,n,而m,则m,故正确,故选D.【答案】D5如图7512,四边形ABCD中,ABADCD1,BD,BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD平面BCD,则下列结论正确的是()图7512AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为【解析】取BD的中点O,ABAD,AOBD,又平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,AO平面BCD,CDBD,OC不垂直于BD.假设ACBD,OC为AC在平面BCD内的射影,OCBD,矛盾,AC不垂直于BD,A错误;CDBD,平面ABD平面BCD,CD平面ABD,AC在平面ABD内的射影为AD,ABAD1,BD,ABAD,ABAC,B正确;CAD为直线CA与平面ABD所成的角,CAD45,C错误;VABCDSABDCD,D错误【答案】B二、填空题6四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有 对【解析】因为ADAB,ADPA且PAABA,可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB、AB平面PAD、CD平面PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面PAD平面PAB,平面PBC平面PAB,平面PCD平面PAD,平面PAB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,共有5对【答案】57四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,一个对角面的面积是一个侧面面积的倍,则侧面与底面所成锐二面角等于 【解析】如图所示,根据,得,即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值,故侧面与底面所成锐二面角为.【答案】8(2015衡水联考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 【解析】如图所示,AA1底面A1B1C1,APA1为PA与平面A1B1C1所成角,平面ABC平面A1B1C1,APA1为PA与平面ABC所成角SA1B1C1()2,V三棱柱ABCA1B1C1AA1SA1B1C1AA1,解得AA1.又P为底面正三角形A1B1C1的中心,A1PA1Dsin 601,在RtAA1P中,tanAPA1,APA1.【答案】三、解答题9. (2015山东高考)如图7513,三棱台DEFABC中,AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点图7513(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.【证明】(1)在三棱台DEFABC中,由BC2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BHEF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHFH,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EFHC,因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGHH,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.10已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB平面ABCD,R、S分别是棱AB、PC的中点,ADBC,ADAB,PAPB,ABBC2AD2PA2,图7514(1)求证:平面PAD平面PBC;(2)求证:RS平面PAD;(3)若点Q在线段AB上,且CD平面PDQ,求三棱锥QPCD的体积【解】(1)证明:平面PAB平面ABCD且相交于直线AB,AD平面ABCD,ADAB,AD平面PAB,又PB平面PAB,PBAD,又PBPA,ADPAA,PB平面PAD.PB平面PBC,平面PAD平面PBC.(2)证明:取PB中点T,连接RT、ST,RTPA,STBC,且PBPA,PBBC,PBRT,PBST,又RTSTT,PB平面RST,又PB平面PAD,平面RST平面PAD,又RS平面RST,RS平面PAD.(3)CD平面PDQ,PQCD,又PQAD,CDADD,PQ平面ABCD.PQAB,由已知得AQ,PQ,DQ,又CD,CDQD,SCQDCDDQ,三棱锥QPCD的体积VSCQDPQ.1如图7515,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,ACBC1,ACB90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为() 图7515A.B1C.D2【解析】设B1Fx,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可以得A1B1,设RtAA1B1斜边AB1上的高为h,则DEh.又2h,所以h,DE.在RtDB1E中,B1E.由面积相等得x,得x.【答案】A2(2015石家庄模拟)在多面体ABCDE中,AB平面ACD,DE平面ACD,ACADCDDE2AB,F为棱CE上异于点C、E的动点,则下列说法正确的有() 图7516直线DE与平面ABF平行;当F为CE的中点时,BF平面CDE;存在点F使得直线BF与AC平行;存在点F使得DFBC.A1个B2个C3个D4个【解析】AB平面ACD,DE平面ACD,DEAB,而DE平面ABF,AB平面ABF,直线DE与平面ABF平行,正确;当F为CE的中点时,取CD的中点M,连接AM,MF,则MF綊DE,又AB綊DE,AB綊MF,四边形ABFM是平行四边形,BFAM.而AMCD,DEAM,CDDED,AM平面CDE,BF平面CDE,因此正确;点C是平面ABF外的一点,因此BF与AC为异面直线,不可能平行,不正确;由可得:当F为CE的中点时,BFDF,DFCE,BFCEF,DF平面BCE,存在点F使得DFBC,正确综上可得正确【答案】C3正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PEAC,则动点P的轨迹的周长为 【解析】如图,取CD的中点F、SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,易知ACEF,又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEFH,AC平面EFG.故点P的轨迹是EFG,其周长为.【答案】4已知ABC的三边长分别为AB5,BC4,AC3,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点给出下列四个命题:若PA平面ABC,则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形;若PM平面ABC,且M是AB边的中点,则有PAPBPC;若PC5,PC平面ABC,则PCM面积的最小值为;若PC5,P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心,则点P到平面ABC的距离为.其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上)【解析】由题意知ACBC,对于,若PA平面ABC,则PABC,又PAACA,BC平面PAC,BCPC,因此该三棱锥PABC的四个面均为直角三角形,正确;对于,由已知得M为ABC的外心,所以MAMBMC,PM平面ABC,则PMMA,PMMB,PMMC,由三角形全等可知PAPBPC,故正确;对于,要使PCM的面积最小,只需CM最短,在RtABC中,(CM)min,(SPCM)min56,故错误;对于,设P点在平面ABC内的射影为O,且O为ABC的内心,由平面几何知识得ABC的内切圆半径r1,且OC,在RtPOC中,PO,点P到平面ABC的距离为,故正确【答案】5(2015陕西高考)如图7517(1),在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD,ABBCADa,E是AD的中点,O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图7517(2)中A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值图7517【解】(1)证明:在题图(1)中,因为ABBCADa,E是AD的中点,BAD,所以BEAC.即在题图(2)
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