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【2019最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何9-2两直线的位置关系学案理考纲展示1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离考点1两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1l2_;当不重合的两条直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为_(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则l1l2_;如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1与l2的关系为_答案:(1)k1k2平行(2)k1k21垂直2两条直线的交点答案:唯一解无解无穷多解(1)教材习题改编若直线l过点(1,2),且与直线yx垂直,则直线l的方程是_答案:xy10解析:由条件知,直线l的斜率k1,则其方程为y2(x1),即xy10.(2)教材习题改编过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线yxm平行,则|AB|_.答案:解析:依题意有1,即ba1,则|AB|.两直线位置关系的重点:平行和垂直(1)若直线l1:2xmy10与直线l2:y3x1平行,则m_.答案:解析:若l1l2,则需满足 得 所以m的值是.(2)2016辽宁锦州模拟若直线l1:kx(1k)y30和l2:(k1)x(2k3)y20互相垂直,则k_.答案:3或1解析:由k(k1)(1k)(2k3)0,得k1或k3.典题1(1)2017重庆巴蜀中学模拟若直线ax2y10与直线xy20互相垂直,那么a的值等于()A1 B C D2答案D解析由a1210,得a2,故选D.(2)2017浙江金华十校模拟“直线axy0与直线xay1平行”是“a1”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由直线axy0与xay1平行,得a21,即a1,所以“直线axy0与xay1平行”是“a1”的必要不充分条件(3)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析依题意,设所求的直线方程为x2ya0,由于点(1,0)在所求直线上,则1a0,即a1,则所求的直线方程为x2y10.(4)经过两直线l1:x2y40和l2:xy20的交点P,且与直线l3:3x4y50垂直的直线l的方程为_答案4x3y60解析解法一:由方程组得即P(0,2)ll3,直线l的斜率k,直线l的方程为y2x,即4x3y60.解法二:直线l过直线l1和l2的交点,可设直线l的方程为x2y4(xy2)0,即(1)x(2)y420.l与l3垂直,3(1)(4)(2)0,11,直线l的方程为12x9y180,即4x3y60.点石成金1.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1:A1xB1yC10(AB0)l2:A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答2两直线交点的求法求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点3常见的三大直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R),但不包括l2.考点2距离公式的应用三种距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2| 点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离d两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d距离问题中的易错点:平行线间的距离两平行直线3x4y10与6x8y180间的距离是_答案:2解析:两平行直线的方程分别是3x4y10和3x4y90,由两平行线间的距离公式得,所求距离d2.两平行直线l1,l2分别过点A(1,0),B(0,5),若l1与l2间的距离为5,则l1与l2的方程分别为_答案:y0与y5或5x12y50与5x12y600解析:依题意,两条直线的斜率必存在设所求直线方程为l1:yk(x1),l2:ykx5.两条平行直线间的距离为5,5,解得k0或k,所求直线方程为l1:y0,l2:y5或l1:5x12y50,l2:5x12y600.典题2直线l经过点P(2,5)且与点A(3,2)和点B(1,6)的距离之比为12,求直线l的方程解当直线l与x轴垂直时,此时直线l的方程为x2,点A到直线l的距离为d11,点B到直线l的距离为d23,不符合题意,故直线l的斜率必存在,设为k,直线l过点P(2,5),设直线l的方程为y5k(x2),即kxy2k50.点A(3,2)到直线l的距离d1,点B(1,6)到直线l的距离d2.d1d212,k218k170,k11,k217.所求直线方程为xy30和17xy290.点石成金利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线xa的距离d|x0a|,到直线yb的距离d|y0b|;(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.1.2017四川绵阳一诊若P,Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点,则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.答案:C解析:因为,所以两直线平行,由题意可知,|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即,所以|PQ|的最小值为.2直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等,则直线l的方程为_答案:x3y50或x1解析:解法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则它的方程为y2k(x1),即kxyk20.由题意知,即|3k1|3k3|,k,直线l的方程为y2(x1),即x3y50.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x1,也符合题意综上知,所求直线l的方程为x3y50或x1.解法二:当ABl时,有kkAB,直线l的方程为y2(x1),即x3y50.当l过AB中点时,AB的中点为(1,4),直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.考点3对称问题考情聚焦对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型主要有以下几个命题角度:角度一点关于点的中心对称问题典题3过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2xy80和l2:x3y100截得的线段被点P平分,则直线l的方程为_答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上,代入l2的方程得a3(2a6)100,解得a4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x4y40.角度二点关于直线的对称问题典题4已知直线l:2x3y10,点A(1,2),则点A关于直线l的对称点A的坐标为_答案解析设A(x,y),由已知得解得故A.角度三直线关于直线的对称问题典题5已知直线l:2x3y10,求直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a,b),则解得M.设直线m与直线l的交点为N,则由得N(4,3)又m经过点N(4,3),由两点式,得直线m的方程为9x46y1020.角度四对称问题的应用典题6 在等腰直角三角形ABC中,ABAC4,点P是边AB上异于A,B的一点光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心,则AP等于_答案解析以AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),得ABC的重心D,设APx,则P(x,0),x(0,4),由光的反射定理知,点P关于直线BC,AC的对称点P1(4,4x),P2(x,0),与ABC的重心D共线,所以,解得x,AP.点石成金1.点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P(x,y)满足2解决点关于直线对称问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直3若直线l1,l2关于直线l对称,则有如下性质:若直线l1与l2相交,则交点在直线l上;若点B在直线l1上,则其关于直线l的对称点B在直线l2上4解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.方法技巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1,l2,l1l2k1k2;l1l2k1k21.2与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为:(1)垂直:BxAym0;(2)平
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