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1 第第 4 4 讲讲 垂直关系垂直关系 1若a,b表示两条不同的直线,表示平面,a,b,则a与b的关系为() Aab,且a与b相交 Bab,且a与b不相交 Cab Da与b不一定垂直 解析:选 C.因为b,所以在中必有一条直线c与b平行,因为a,所以ac, 所以ab. 2 “直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析:选 B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能 推出“直线a与平面M垂直” ,反之可以,所以应该是必要不充分条件 3(2016南昌调研)已知两个不同的平面,和两条不重合的直线m,n,则下列四个命 题中不正确的是() A若mn,m,则n B若m,m,则 C若m,mn,n,则 D若m,n,则mn 解析:选 D.由线面平行、垂直之间的转化知 A、B 正确;对于 C,因为m,mn,所以 n,又n,所以,即 C 正确;对于 D,m,n,则mn,或m 与n是异面直线,故 D 项不正确 4在如图所示的四个正方体中,能得出ABCD的是() 解析:选 A.A 中,因为CD平面AMB,所以CDAB;B 中,AB与CD成 60角;C 中,AB 与CD成 45角;D 中,AB与CD夹角的正切值为. 2 5设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A若,a,b,则ab B若a,b,且,则ab C若a,ab,b,则 D若ab,a,b,则 解析:选 C.若,a,b,则直线a与b可能平行或异面,所以 A 错误;若 a,b,且,则直线a与b可能平行或相交或异面,所以 B 错误;若a, ab,b,则,所以 C 正确 ; 若ab,a,b,则与相交或平行, 所以 D 错误故选 C. 6(2016九江模拟)如图,在三棱锥DABC中,若ABCB,ADCD,E是 AC的中点,则下列命题中正确的是() A平面ABC平面ABD 2 B平面ABD平面BCD C平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE D平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE 解析:选 C.因为ABCB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理,DEAC,由于DEBE E,于是AC平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD,所 以平面ACD平面BDE.故选 C. 7.如图,在ABC中,ACB90,AB8,ABC60,PC平面ABC,PC 4,M是AB上的一个动点,则PM的最小值为_ 解析 : 作CHAB于H,连接PH.因为PC平面ABC,所以PHAB,PH为PM的 最小值,等于 2. 7 答案:2 7 8(2016无锡质检)已知,是三个不同的平面,命题“且 ”是真命题,若把,中的任意两个换成直线,另一个保持不变, 在所得的所有新命题中,真命题有_个 解析:若把,换为直线a,b,则命题转化为“ab且ab” ,此命题为真命 题;若把,换为直线a,b,则命题转化为“a且abb” ,此命题为假命题; 若把,换为直线a,b,则命题转化为“a且bab” ,此命题为真命题 答案:2 9四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,则这个四棱锥的五个面中两两互 相垂直的共有_对 解析 : 因为ADAB,ADPA且PAABA, 可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB、AB 平面PAD、CD平面PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面PAD平面PAB,平面PBC平 面PAB,平面PCD平面PAD,平面PAB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,共有 5 对 答案:5 10已知a、b、l表示三条不同的直线,、表示三个不同的平面,有下列四个命 题: 若a,b,且ab,则; 若a、b相交,且都在、外,a,a,b,b,则; 若,a,b,ab,则b; 若a,b,la,lb,l,则l. 其中正确命题的序号是_ 解析 : 若平面、两两相交于三条直线,则有交线平行,故不正确因为a、b相 交,假设其确定的平面为, 根据a,b, 可得.同理可得, 因此, 正确由面面垂直的性质定理知正确当ab时,l垂直于平面内两条不相交直 线,不能得出l,错误 答案: 11(2014高考课标全国卷) 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C. (1)证明:B1CAB; (2)若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高 解:(1)证明: 连接BC1,则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1. 又AO平面BB1C1C, 3 所以B1CAO, 故B1C平面ABO. 由于AB平面ABO,故B1CAB. (2)作ODBC,垂足为D,连接AD.作OHAD,垂足为H. 由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD, 所以OHBC. 又OHAD,所以OH平面ABC. 因为CBB160,所以CBB1为等边三角形 又BC1,可得OD. 3 4 由于ACAB1,所以OAB1C . 1 2 1 2 由OHADODOA,且AD,得OH. OD2OA2 7 4 21 14 又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为,故三棱柱ABCA1B1C1的高为. 21 7 21 7 1.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题: 三棱锥AD1PC的体积不变; A1P平面ACD1; DBBC1; 平面PDB1平面ACD1. 其中正确的命题序号是_ 解析:连接 BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1BC1. 所以BC1平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变, 所以三棱锥PAD1C的体积不变 又VPAD1CVAD1PC,所以正确 连接A1B,A1C1,因为平面A1C1B平面AD1C, A1P 平面A1C1B,所以A1P平面ACD1,正确 由于DB不垂直于BC1,显然不正确; 连接B1D,由于DB1D1C,DB1AD1,D1CAD1D1, 所以DB1平面AD1C,DB1平面PDB1, 所以平面PDB1平面ACD1,正确 答案: 2(2015高考北京卷) 如图,在三棱锥VABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且ACBC ,O,M分别为AB,VA的中点 2 4 (1)求证:VB平面MOC; (2)求证:平面MOC平面VAB; (3)求三棱锥VABC的体积 解:(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点, 所以OMVB. 又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC. (2)证明:因为ACBC,O为AB的中点,所以OCAB. 又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC, 所以OC平面VAB. 所以平面MOC平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中,ACBC, 2 所以AB2,OC1. 所以等边三角形VAB的面积SVAB. 3 又因为OC平面VAB, 所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB. 1 3 3 3 又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等, 所以三棱锥VABC的体积为. 3 3 3(2016青岛质检)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DBBC,DBAC, 点M是棱BB1上一点 (1)求证:B1D1平面A1BD; (2)求证:MDAC; (3)试确定点M的位置,使得平面DMC1平面CC1D1D. 解:(1)证明:由直四棱柱ABCDA1B1C1D1,得BB1DD1,BB1DD1, 所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1BD. 因为BD平面A1BD,B1D1平面A1BD, 所以B1D1平面A1BD. (2)证明:因为BB1平面ABCD,AC平面ABCD, 所以BB1AC. 又因为BDAC,且BDBB1B, 所以AC平面BB1D1D, 因为MD平面BB1D1D,所以MDAC. (3)当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1平面CC1D1D.证明如下: 取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于点O,连接BN,OM,如图所示 因为N是DC的中点,BDBC,所以BNDC. 又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,平面ABCD平面DCC1D1, 所以BN平面DCC1D1. 由题意可得O是NN1的中点,所以BMON且BMON, 即四边形BMON是平行四边形 所以BNOM.所以OM平面CC1D1D. 因为OM平面DMC1,所以平面DMC1平面CC1D1D.
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