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1 第第 1414 讲讲 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 1求曲线 yx2与 yx 所围成图形的面积,其中正确的是() AS(x2x)dx BS(xx2)dx 1 0 1 0 CS(y2y)dy DS(y)dy 1 0 1 0 y 解析:选B.两函数图像的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是 1,下限是 0.由于在 0,1上,xx2,故曲线 yx2与 yx 所围成图形的面积 S(xx2)dx. 1 0 2(2016开封诊断考试)若 (x2mx)dx0,则实数 m 的值为() 1 0 A B 1 3 2 3 C1 D2 解析:选 B.由题意知, (x2mx)dx 1 0( x3 3 mx 2 2)| 1 0 ) 0,得 m . 1 3 m 2 2 3 3(2016太原八校联考)已知(xln x)ln x1,则ln xdx() e 1 A1 Be Ce1 De1 解析 : 选A.由(xln x)ln x1,联想到(xln xx)(ln x1)1ln x,于是ln e 1 xd x(xln xx)(eln ee)(1ln 11)1. | e 1 ) 4从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自 由落体的运动速度为 vgt(g 为常数),则电视塔高为() A. g Bg 1 2 C. g D2g 3 2 解析:选C.由题意知电视塔高为gtdt gt2| 2g g g. 2 1 1 2 2 1 1 2 3 2 5(2016金华十校联考)设 f(x) x2,x 0,1, 2x,x (1,2,) 则f(x)dx 等于() 2 0 A. B. 3 4 4 5 C. D不存在 5 6 解析:选C. 2 如图, f(x)dx 2 0 x2dx (2x)dx 1 0 2 1 x3 1 3 | 1 0 )(2x 1 2x 2)| 2 1 ) . 1 3(422 1 2) 5 6 6如图,由曲线 yx2和直线 yt2(0t1,则 f(m)dx 的最小值为_ m 1(1 4 x2) 解析:f(m)dxm 5451,当且仅当 m2 时等号成 m 1(1 4 x2)(x 4 x)| m 1 ) 4 m 立 答案:1 9(2016南昌调研测试卷)直线 y x 与抛物线 yxx2所围图形的面积等于 1 3 _ 3 解析:由解得 x0 或 ,所以所求面积为 y1 3x, yxx2,) 2 3 0 dx 0 dx 2 3 (xx 21 3x) 2 3 ( 2 3xx 2) 0. ( 1 3x 21 3x 3)| 2 3 0) 1 3( 2 3) 2 1 3( 2 3) 3 4 81 答案: 4 81 10.(x)dx_ 1 1 1x2 解析 :(x)dxdxxdx,根据定积分的几何意义可知dx 等 1 1 1x2 1 1 1x2 1 1 1 1 1x2 于半径为 1 的半圆的面积,即dx,xdx x20,所以( 1 1 1x2 2 1 1 1 2 | 1 1 ) 1 1 1x2 x)dx. 2 答案: 2 11求下列定积分: (1)dx; 2 1(xx 21 x) (2)(cos xex)dx. 0 解:(1)dx 2 1(xx 21 x) xdx x2dxdx 2 1 2 1 2 1 1 x | | ln x| ln 2ln 2 . x2 2 2 1 x3 3 2 12 1 3 2 7 3 5 6 (2)(cos xex)dxcos xdxexdx 0 0 0 sin x|ex|1. 00 1 e 12求曲线 yx2,直线 yx,y3x 围成的图形的面积 解:作出曲线 yx2,直线 yx,y3x 的图像,所求面积为图中阴影部分的面积 4 解方程组得交点(1,1),(0,0), yx2, yx,) 解方程组 yx2, y3x,) 得交点(3,9),(0,0), 因此,所求图形的面积为 S (3xx)dx (3xx2)dx 1 0 3 1 2xdx (3xx2)dx 1 0 3 1 x2 | 1 0 )( 3 2x 21 3x 3)| 3 1 ) 1. ( 3 2 321 3 33) (3 2 121 3 13) 13 3
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