- 1 -,第五节 曲线的凹凸性、拐点和函数的图形的描绘,一 曲线的凹凸性与拐点 二 函数图形的描绘,- 2 -,一 曲线的凹凸性和拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,1 曲线凹凸的定义,- 3 -,定义1,- 4 -,2 曲线凹凸的判定,定理1,- 5 -,例1,解,注意到,- 6 -,3 曲线的拐点及其求法,(1) 定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,证,(2) 拐点的求法,- 7 -,根据定理2可知:,定理3,- 8 -,例2,解,上凹的,上凸的,上凹的,拐点,拐点,- 9 -,函数的图形为,- 10 -,例3,求曲线,的凹凸区间和拐点.,解,定义域为,上凸,上凸,拐点,上凹,- 11 -,上凸区间,上凹区间,拐点为,注意:,例4,解,- 12 -,也可以用,例5,解,- 13 -,例6,解,由于曲线有拐点,因此,解得,所以,- 14 -,二 函数图形的描绘,(1) 铅直渐近线,1 曲线的渐近线,定义3,- 15 -,例如,有铅直渐近线两条:,- 16 -,(2) 水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,- 17 -,(3) 斜渐近线,则必有,根据渐近线的定义可得,- 18 -,过点,作,的垂线,与,直线的交点为,由于,则,所以,等价于,- 19 -,即,定理4,证,因为,即,必有,所以,当且仅当,- 20 -,将求出的,代入,得,反之,如果,则,注意:,- 21 -,例7,解,- 22 -,- 23 -,2 图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形的步骤.,并由此确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点;,- 24 -,(4) 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线,以及其他变化趋势;,有时还需要补充一些点，,例8,解,非奇非偶函数,且无周期性.,- 25 -,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,拐点,极值点,- 26 -,作图,- 27 -,例9,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,- 28 -,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,- 29 -,例10,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数增减区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,- 30 -,拐点,极大值,极小值,