第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数、极限和连续,第一章,二、函数的性质,三、反函数和复合函数,一、函数的概念,第一节,函数,四、初等函数,定义域,一、函数的概念,定义. 设数集,若对,为定义在,D 上的函数 ,记为,称为值域,函数图形:,自变量,因变量,变量y按照一定,的法则总有一个确定的数值与x相对应，则称y为,(对应规则),(值域),(定义域),例如, 反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合.,定义域,值域,又如, 绝对值函数,定义域,值 域,对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.,对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；,例1. 已知函数,解:,f (x) 的定义域,值域,二、 函数的性质,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .,(2) 单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,又如,奇函数,再如,奇函数,说明: 给定,则,偶函数,奇函数,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄利克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,三、 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单值函数,则存在一新函数关系,习惯上,的反函数记成,称此函数,为 f 的反函数 ., 其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,使,其中,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,但可定义复合函数,时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数,当改,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.,四、 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,设函数,x 换为 f (x),例2.,解:,例3. 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,内容小结,定义域 对应规律,2. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,3. 初等函数的结构,1. 函数的定义及函数的二要素,第二节,