上海工程技术大学 基础教学学院 数学教学部 系列课程建设项目小组 江开忠,教材 (Text Book) 数值分析 李庆扬等 编著 （华中科技大学出版社）,辅导教材 (Tutorial Text Book) 数值计算方法学习指导书 邹秀芬等编著 （武汉大学出版社）,参考书目 (Reference),Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ） David Kincaid 2. 平时成绩占20，包括作 业和课堂回答问题； 3. 创新实验成绩占10，根据课堂内容所进行的创新活动，如科技小论文、心得体会、对课程改革的建议等，以读书报告的形式提交两 次,考试方法,第一章 绪论(Introduction),1 数值分析的对象与特点/*Objects and Object Characteristics*/,研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。 数值分析课程中所讲述的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用,一、数值分析的对象,应用问题举例,1、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温,本课程第二章的内容：插值法,2、用比较简单的函数代替复杂的函数,误差为最小，即距离为最小 （在不同的度量意义下）,本课程第三章的内容：函数逼近,3、人口预测,下面给出的是中国1900 年到2000年的人口数， 我们的目标是预测未来 的人口数（数据量较大 时）,本课程第三章的内容：曲线拟合,4、铝制波纹瓦的长度问题,建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.,这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的曲线从 x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.,本课程第四章的内容：数值积分,A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：,5、生物化学反应的例子,我们通过建模可以得到如下方程组,本课程第五章的内容：常微分方程的数值方法,x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数,本课程第六章的内容：非线性方程的数值解法,6、天体力学中的Kepler方程,今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-九章算术,7、一个两千年前的例子,本课程第七、八章的内容：线性方程组的数值方法,G: Google Matrix, “the worlds largest matrix computation”. 4,300,000,000 x: PageRank vector “The $25,000,000,000 Eigenvector”,9、Google搜索引擎,London, England: Millennium (Wobbly) Bridge (1998-2002, Norman Foster and Partners and Arup Associates), the natural modes and frequencies of a structure are the solution of an eigenvalue problem that is quadratic when damping effects are included in the model. (F. Tisseur, K. Meerbergen, The quadratic Eigenvalue Problem, SiREV 43, 2000, pp.235-286),本课程第九章的内容：矩阵特征值问题的数值方法,用计算机解决实际问题的步骤 建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算结果,1、方法是近似的； 2、与计算机不能分离：上机实习 （掌握一门语言：C语言或Fortran语言， 会用一种数学软件：Matlab或Mathematica，Maple）,在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 上机实习是需要大家创造条件完成的,二、数值分析的特点,一、误差的来源 /* Sources of error*/,来源与分类 /* Source & Classification */,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* Modeling Error */,通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* Measurement Error */,求近似解 方法误差 (截断误差 Truncation Error）,机器字长有限 舍入误差 /* Roundoff Error */,2 误差 /* Error */,二、误差与有效数字,(1)绝对误差 /* absolute error */,其中 x*为精确值，x为x*的近似值。,例如：,工程上常记为,的上限记为 , 称为绝对误差限 /* accuracy */，,(2)相对误差 ( relative error ),x 的相对误差上限 定义为,(3)有效数字 （significant digits ）,问： 有几位有效数字？请证明你的结论。,有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。,用科学计数法，记 (其中a10）若 （即an的截取按四舍五入规则）,则称x为有n 位有效数字,精确到10m-n。,例1,证明,(4)误差估计 （Error Estimates）,已知:,则:,已知:,则:,3 误差分析的方法与原则 /* Methods and principles*/,选用数值稳定的计算公式,一、防止大数吃小数,这一类问题主要由计算机的位数引起,假如作一个有效数字为4位的连加运算,大数1040.1234将小数0.4987,0.4896,0.4697”吃了”,而如果将小数放在前面计算,在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别 的方法.,二、作减法时应避免相近数相减,两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失,由于,三、避免小数作除数和大数作乘数,在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等,四、控制误差传播,计算定积分,计算过程只取三位有效数字,改写递推式,当n增大时,