3 二元随机变量,也称为n元随机向量。,以下只研究二元随机变量。,(一)离散型,把(，)的所有可能取值与相应概率列成表，称为 (，)的联合概率分布表。,定义3 如果二元随机变量(，)所有可能取的数对 为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的 数对，则称(，)为二元离散型随机变量。,也可用一系列等式来表示,P(=xi,=yj)=pij,(i,j=1,2,),称为与的联合分布律。,联合分布有如下性质：,(1) pij0,例1 同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取 1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。证“k=0”表 示第k次取到正品，而“k=1”为第k次取到次品。(k=1,2) 写出(1, 2)的联合分布律。,解：试验结果由4个基本事件组成。,P(1=0, 2=0),=P(1=0)P(2=0| 1=0),=0.1,P(1=0, 2=1),=0.3,P(1=1, 2=0),=0.3,P(1=1, 2=1),=0.3,列成联合概率分布表：,二元随机变量(，)中，分量(或)的概率 分布称为(，)的关于(或)的边缘分布。,若已知联合分布，则,P(=xi),i=1,2,P(=yj),j=1,2,pi(1)表示联合概率表中第i行各概率之和。,它表示，不论取何值，取值xi的概率,pj(2)的含义类似。,例2 将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个 邮筒内投。i表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写 出(1， 2)的联合分布以及1， 2的边缘分布。,解：试验共有42种不同的等可能结果。,p12=p21=p22=0,列成联合分布表：,即边缘分布为,对于二元随机变量(，)，若P (=yj)0， 称pij/pj(2)(i=1,2,)为在=yj条件下关于 的条件分布。,显然P (=xi|=yj)是非负的，且对所有i，它们的和为1,同样，若pi(1)0,称为在xi条件下关于的条件分布。,p(=yj|=xi)是非负的，且对所有j，它们的和为1,记为,例3 求出例2中在21条件下关于1的条件分布。,0,故21时， 1的条件分布为,例4 反复掷一颗骰子，直到出现小于5点为止。 表 示最后一次掷出的点数， 表示投掷次数。求(，) 的联合分布律，边缘分布律及条件分布。,解：的取值是1，2，3，4,的取值是1，2，,“=i,j”表示掷了j次，而最后一次掷出i点。,前j-1次掷出5点或6点。,由于各次掷骰子是相互独立的。,故联合分布表为,pi(1),条件分布为：,(二)连续型,它有性质：,对任意平面区域D,解：P(+ 1),同样地,P( ),分别称为二元随机变量(，)中关于及关于的 边缘分布函数。,求导可得相应的概率密度：,是关于的边缘概率密度。,是关于的边缘概率密度。,解：当axb时,在其它点,0,解：当0 x1时,=0,同理可求出,(三)随机变量的相互独立性,判断独立的充要条件：,pij=pi(1)pj(2),例8 在例2中1与2是否相互独立？,解：已经得到,故1与2不是相互独立的。,例9 掷两颗骰子，用与分别表示第一颗与第二颗的 点数。与是否独立。,可见对所有i,j有pij=pi(1)pj(2),故与是相互独立的。,例10 例6中的随机变量与是否相互独立？,可见，对任何x,y有,故与相互独立。,故与不独立。,例11 例7中的随机变量与是否相互独立？,4 随机变量函数的分布,也有多元函数f(1,n) 等。,(一)离散型随机变量函数的分布,定义1 设f(x)是定义在随机变量的一切可能值x集合上 的函数。如果对于的每一可能取值x，有另一个随机 变量的相应取值y=f(x)。称为的函数，记作 =f()。,0.2,0.4,0.1,0.3,故的分布表为,解:P(=0)=P (=0),=0.2,P(=1)=P (=-1)+P (=1),=0.2+0.1,=0.3,P(=4)=P (=-2)+P (=2),=0.1+0.4,=0.5,故的分布为,的概率分布表为,解：P(+=1)=P(=0, =1)+P(=1,=0)=0.4,而P(=1)=P(=1,=1)=0.2,解：-的取值可以为1，2，3，4,P(-=2)=P(=4,=2)+P(=5,=3),=P(=4)P(=2)+P(=5)P(=3),=0.38,类似可算出其它概率。,-的概率分布表为,(二)连续型随机变量函数的分布,P(4-1x),两边求导,解：当x0时,=0,两边对x求导。,0,1,0x1时,