22.1.4 二次函数yax2bxc的图象与性质第一课时 一、教学目标（一）学习目标1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性及最大或最小值.3经历探索二次函数yax2bxc的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数yax2bxc的性质.4.能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.（二）学习重点用描点法画出二次函数yax2bxc的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其性质。（三）学习难点理解二次函数yax2bxc(a0)的图象和性质，会利用二次函数的图象性质解决简单的实际问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h，当a0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；当a0时，函数y有最小值，当a0时，函数y有最大值.2.预习自测（1）抛物线y2x22x1的开口_，对称轴是_.【知识点】二次函数的性质【解题过程】解：抛物线y2x22x1，20，开口向上，对称轴为：【思路点拨】掌握二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键【答案】向上，（2）抛物线yx22x2的顶点坐标是_.【知识点】二次函数的性质【解题过程】解：将yx22x2配方得，顶点坐标是（1，1）.【思路点拨】将抛物线的一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标【答案】（1，1）（3）二次函数yx22x1的最_值是_.【知识点】二次函数的最值【解题过程】解：将yx22x1配方得，0，其最小值是-1.【思路点拨】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值【答案】小，-1（4） 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： 4acb2； a+cb； 2a+b0其中正确的有（） ABCD【知识点】二次函数图象与系数的关系【思路点拨】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断正确，根据x=1，y0，即可判断错误，根据对称轴x1，即可判断正确，由此可以作出判断【解题过程】解：抛物线与x轴有两个交点，0，b24ac0，4acb2，故正确，x=1时，y0，ab+c0，a+cb，故错误，对称轴x1，a0，1，b2a，2a+b0，故正确故选B【答案】B (二)课堂设计1.知识回顾（1）二次函数的图象性质：开口方向向上向下对称轴顶点坐标增减性当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小最值当时，当时，（2）抛物线的平移规律：（h）左加右减，(k)上加下减抛物线抛物线当h0时，向“右”平移h个单位当h 0时，向“左”平移个单位当k0时，向“上”平移k个单位当k 0时，向“下”平移个单位抛物线左右平移上下平移2.问题探究 探究一 从旧知识过渡到新知识 活动 复习配方填空：（1） ； （2） .生答：（1）2，5； （2），总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方【设计意图】复习配方，为新课作准备活动 以旧引新 1二次函数ya(xh)2k的图象，可以由函数yax2的图象先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到生答：左或右，上或下，2二次函数ya(xh)2k的图象的开口方向_，对称轴是_，顶点坐标是_生答：a0，向上；a4时，y随x的增大而增大；当x4时，y随x的增大而减小当x4时，函数y取最小值2.思考、讨论下列问题：1.对于任意一个二次函数yax2bxc(a0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？2.观察二次函数yax2bxc(a0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？3.函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？4.你能归纳总结二次函数yax2bxc(a0)的图象和性质吗？在学生讨论的基础上，归纳如下：二次函数yax2bxc的图象与性质，如下表：函数二次函数yax2bxc（a,b,c是常数，a0）图像a0a0性质当a0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸.对称轴是直线，顶点坐标为.在对称轴的左侧，即相当于时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即相当于时，y随x的增大而增大.简记为“左减右增”抛物线有最低点，当时，y有最小值，y最小值=.当a0时，抛物线开口向上，并且向下无限延伸.对称轴是直线，顶点坐标为.在对称轴的左侧，即相当于时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即相当于时，y随x的增大而减小.简记为“左增右减”抛物线有最高点，当时，y有最大值，y最大值=【设计意图】充分发挥学生的主体作用，引导学生总结二次函数的图象性质。探究四 二次函数的图象及性质的应用 活动 基础性例题例1：把下面的二次函数的一般式化成顶点式：y2x5x3.【知识点】二次函数的顶点式【解题过程】解法一：用配方法：解法二：用公式法： 【思路点拨】一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种是代入公式法【答案】练习：若二次函数yx2bx5配方后为y(x2)2k，则b，k的值分别为( )A0，5 B0，1 C4，5 D4，1【知识点】二次函数的顶点式【解题过程】解：y(x2)2k=x2-4x+4+k，b=-4，4+k=5，k=1,故选D【思路点拨】将配方后为的函数式展开后与原函数式对照求解。【答案】D例2.已知：抛物线y2x4x6.（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x 的增大而增大？【知识点】二次函数的图象与性质【解题过程】解：(1)开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，8) (2)令y0，得2x4x60，解得x1，x3, 所以与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0) 令x0，得y6，所以与y轴的交点坐标为(0，6) (3)当x1时，y随x 的增大而增大【思路点拨】(2)和以前学的一次函数一样，求图象与x轴的交点坐标令 y0，求图象与y轴的交点坐标令x0，解方程即可. 【答案】 (1)向上，直线x1，(1，8)；(2)(1，0)，(3，0)；(0，6)(3)x1练习：若点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x22x1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“”、“”、“=”）【知识点】二次函数的增减性【解题过程】解：二次函数y=x22x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右面y随x的增大而增大，点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x22x+1的图象上两点，123，y1y2.故填：.【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.【答案】【设计意图】让学生熟悉配方法和二次函数性质.活动2 提升型例题例3.已知0x，那么函数y=2x2+8x6的最大值是（）A. 10.5 B.2 C.2.5 D.6【知识点】二次函数的最值【解题过程】解：y=2x2+8x6=2（x2）2+2该抛物线的对称轴是x=2，且