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24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标:1、理解圆的旋转不变性2、掌握圆心角的概念和圆心角定理3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力;4、学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中,学会运用分类讨论的数学思想,转化的数学思想解决问题教学重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题教学难点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明教学过程:一、情境创设:1、按下面的步骤做一做:(1)在两张透明纸上,作两个半径相等的O和O,沿圆周分别将两圆剪下;(2)在O和O上分别作相等的角AOB和AOB,如图1所示,圆心固定注意:在画AOB与AOB时,要使OB相对于OA的方向与OB相对于OA的方向一致,否则当OA与OA重合时,OB与OB不能重合图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度使得OA与OA重合通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下,说一说你的理由二、新课讲授1定点在圆心的角叫做圆心角。如:AOB2如图1,由已知条件可知AOBAOB;由两圆的半径相等,可以得到OABOBAOAB=OBA;由AOBAOB,可得到ABAB;由旋转法可知弧AB=弧AB.定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等根据对上述定理的理解,你能证明下列命题是正确的吗?推论:(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优(劣)弧相等注意:(1)“同圆或等圆”的条件不能少; 若去掉这个前提,如图所示的是两个同心圆,弦AB与弦CD相等吗?弧AB与弧CD相等吗? (显然不相等) (2)定理的作用:在同圆或等圆中证:圆心角、弧、弦相等; (3)“等弧对等弦”是假命题;(4)在同圆或等圆中,等弦的弦心距也相等;(记住结论,但解答题不可直接使用)(5)弧的度数等于它所对的圆心角的度数。(弧是圆中非常重要的桥梁)三、例题讲解例1如图,在O中,ACB60,求证:AOB=AOC=BOC练习:点A、B、C、D为O上四点,=1:2:3:4, 则BOC= 72 .例2如图,已知AD=BC,求证:AB=CD 分析:要证AB=CD,只要证. 例3小林根据在一个圆中圆心角、弧、弦三个量之间的关系认为,ABCDOE在如图中,若AOB=COD则有 AB=2CD ,你同意他的观点吗?试说说你的理由。分析:作AOB的平分线交O于点E,则AOE=EOB=COD 所以正确. 但AB=2CD不正确.连接AE,BE这时AE=BE=CD, 所以2CD=AE+BE 但因为ABAE+BE 即AB2CD所以AB=2CD不成立四、课堂反馈1填空:(1)O的半径为2cm,弦AB=cm,则AOB= 120 (2)弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 (3)半径为1的圆中,长为的弦所对的圆心角为 90 2如图,点C、D在O的直径AB上,AC=BD,CEAB,DFAB,点E、F在O上. 求证:.提示:连接OE、OF,证AOE=BOF.3如图,在ABCD中,以A为圆心,AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G,交BA的延长线于E, 求证:ABEFCGD提示:连接AG,证明EAF=FAG 或连接EF、FG证明EAFGAF五、课堂小结“等对等”:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等反之也成立.“在同圆和等圆中”这个条件不可缺。六、布置作业思考题:如图A是半圆上一个三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点。已知O半径为1,求AP+BP的最小值。
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