24.14 圆周角 （第一课时）一、教学目标（一）学习目标1. 掌握圆周角的相关概念和定理，并会运用.2. 掌握圆周角和圆心角的关系.3.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.4能运用圆周角的性质解决问题（二）学习重点 圆周角和圆心角的关系.（三）学习难点 能运用圆周角的性质解决问题二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做 圆周角 。（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角 相等 ，都等于这条弧所对的圆心角的 一半 。（3）半圆（或直径）所对的圆周角是 直角 ，90的圆周角所对的弦是 直径 。2.预习自测（1）如图，在O 中，已知AOB=120，则ACB=【知识点】网圆周角定理【数学思想】数形结合有。【解题过程】解：AOB=120，点C在O上，ACB=AOB=60故答案为：60【思路点拨】根据AOB的度数利用圆周角定理，即可得出ACB的度数【答案】60（2）如图，ABC内接于O，若OAB=28，则C的大小为【知识点】网圆周角定理；三角形内角和定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OB在OAB中，OA=OB（O的半径），OAB=OBA（等边对等角）；又OAB=28，OBA=28；AOB=180228=124；而C=AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），C=62；故答案是：62【思路点拨】连接OB根据等腰OAB的两个底角OAB=OBA、三角形的内角和定理求得AOB=124；然后由圆周角定理求得C=62【答案】62（3）如图，AD为O的直径，ABC=75，且AC=BC，则BED=【知识点】网圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【数学思想】数形结合【解题过程】解：AD为O的直径，ABD=90，AC=BC，ABC=75，BAC=ABC=75，C=180ABCBAC=30，CBD=ABDABC=15，D=C=30，BED=180CBDD=135故答案为：135【思路点拨】由AD为O的直径，ABC=75，且AC=BC，可求得ABD=90，D=C=30，继而可得CBD=15，由三角形内角和定理，即可求得答案【答案】135（4）如图，点A、B、C在O上，A=36，则O=【知识点】网圆周角定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：由图形得：O=2A=236=72；故答案为：72.【思路点拨】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出结论【答案】72.(二)课堂设计1.知识回顾（1）在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 圆心 角相等，所对的 弦 相等；（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 圆心 角相等，所对的 优（劣）弧 相等2.问题探究探究一 圆周角定义，圆周角和圆心角关系. 活动 以旧引新教师演示图片：展示一个圆柱形的海洋馆教师：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题问题1：如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（和）有什么关系？教师：这两个角所对的弧相同，顶点的位置不同：的顶点在圆心，的顶点在圆上。如何给起名较为恰当？教师结合示意图，给出圆周角的定义利用几何画板演示，让学生辨析圆周角。定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角,是圆周角。问题2：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？与甲同学的视角（）相同吗？教师引导学生将问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、等）之间的大小关系教师引导学生进行探究【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.活动 大胆猜想，探究新知问题1：同弧（弧AB）所对的圆心角AOB 与圆周角ACB的大小关系是怎样的？问题2：同弧（弧AB）所对的圆周角ACB 与圆周角ADB 的大小关系是怎样的？方法一：度量法分别量一下图中所对的圆周角，圆心角度数，即、，比较一下你有什么发现？可以发现，同弧所对的圆周角的度数差不多一样，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。为了进一步探究上面的发现，需要严格的几何证明。方法二： 几何证明法在O任取一个圆周角，将圆对折，使折痕经过圆心O和的顶点A，由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：（1） 在圆周角的一条边上；（2） 在圆周角的内部；（3） 在圆周角的外部。（1）种情况证明：OA=OC，A=C。又BOC=A+C，BOC=2A，即A=BOC（2）种情况证明：OA=OC=OB，BAO=OBA，OAC=OCA。又BOC=2(BAO +OAC)，BOC=2BAC（3）种情况证明：OA=OC=OB，BAO=ABO，OAC=OCA.又BOC=180-(180-BAC-OCA) -ABO，BOC=BAC+OCA-ABO=BAC+(OAC-OAB)=2BAC定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对圆心角度数的一半。由此，还可以得到：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，则它们的弧也相等。【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关概念。探究二 直径所对的圆周角. 活动 大胆猜想，探究新知教师提问：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度呢？学生猜想：90如图，已知BC为O直径，BAC为圆周角，求证：BAC=90证明：BOC=2BAC=180BAC=90结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。探究三：圆周角的性质定理的应用活动 基础性例题例1.如图，O的半径为6，点A、B、C在O上，且ACB=45，则弦AB的长是【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OA，OB，AOB=2ACB=245=90，则AB=6【思路点拨】连接OA，OB，可以证得AOB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解【答案】6练习1：如图，O的直径AB垂直于弦CD，CAB=36，则BCD的大小是（）A18 B36 C54 D72【知识点】圆周角定理；垂径定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：AB是直径，ABCD，CAB=BAD=36，BCD=BAD，BCD=36，故选B【思路点拨】根据垂径定理推出，推出CAB=BAD=36，再由BCD=BAD即可解决问题【答案】B【设计意图】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理，属于中考常考题型例2.如图，已知AB是O的直径，BC为弦，过圆心O作ODBC交弧BC于点D，连接DC，若DCB=32，则BAC=【知识点】圆周角定理；垂径定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：BOD与BCD为所对的圆心角和圆周角，BOD=2BCD=64，AB为直径，ACBC，又ODBC，ACOD，BAC=BOD=64，故答案为：64【思路点拨】由圆周角定理可知，BOD=2BCD=64，由AB为直径可知，ACBC，又ODBC，可知ACOD，利用平行线的性质可求BAC【答案】64练习2：如图，BD是O的直径，CBD=30，则A的度数为【知识点】圆周角定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：BD是O的直径，BCD=90（直径所对的圆周角是直角），CBD=30，D=60（直角三角形的两个锐角互余），A=D=60（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60【思路点拨】根据直径所对的圆周角是直角，得BCD=90，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的圆周角相等求得A=D=60【答案】60【设计意图】本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等活动2 提升型例题例3.已知点O为ABC的外心，且BOC=80，则BAC= 【知识点】圆周角定理【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：当点O在三角形的内部时，则BAC=BOC=40；当点O在三角形的外部时，则BAC=（36080）=140故答案为：40或140【思路点拨】由于三角形的外心的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部所以此题要考虑两种情况：根据圆周角定理，当点O在三角形的内部时，则BAC=BOC=40；当点O在三角形的外部时，则BAC=（36080）=140【答案】40或140练习3：如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD=55，则BCD的度数为【知识点】圆周角定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：连结AD，如图，AB是O的直径，ADB=90，ABD=55，A=9055=35，BCD=A=35故答案为35【思路点拨】连结AD，由AB是O的直径得到ADB=90，再根据互余计算出A的度数，然后根据圆周角定理即可得到C的度数【答案】35【设计意图】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半例4.如图，在O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且ABC=45，则O的半径R=【知识点】圆周角定理；KQ：勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：ABC=45，AOC=90，OA=OC=R，R2+R2=，解得R=故答案为：【思路点拨】通过ABC=45，可得出AOC=90，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了【答案】练习4：已知，如图，AB是O的直径，点D，C在O上，连接AD、BD、DC、AC，如果BAD=25，那么C的度数是（）A75 B65 C60 D50【知识点】圆周角定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：AB是O的直径，ADB=90又BAD=25，