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第 1页 (共 9页) 2000 年全国普通主等学校招生统一考试 上海数学试卷(理工农医类) 考生注意:本试卷共有22 道试题,满分150 分 一、填空题(本大题满分为48 分)本大题共有12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4 分, 否则一律得零分。 1已知向量OA(1,2)、OB=(3,m),若OAOB,则 m=。 2函数, x x y 3 12 log2 的定义域为。 3圆锥曲线 tgy x 3 1sec4 的焦点坐标是。 4计算: n n n ) 2 (lim=。 5 已 知bxf x 2)(的 反 函 数 为)(),( 11 xfyxf若的 图 象 经 过 点)2, 5(Q, 则 b=。 6根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999 年上海市完成GDP(GDP 是指国 内生产总值 )4035 亿元, 2000 年上海市GDP 预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自 然增长率将控制在0.08%,若 GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP 达到或超 过 1999 年的 2 倍,至少需年。 (按: 1999 年本市常住人口总数约1300) 7命题 A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱 锥, 命题 A 的等价题B 可以是:底面为正三角形, 且的 三棱锥是正三棱锥。 8设函数)(xfy是最小正周期为2 的偶函数, 它在区间 0,1上的图象为如图 所示的线段AB,则在区间 1,2上)(xf=。 9在二项式 11 )1(x的展开式中,系数最小的项的系数为, (结果用数值表 示) 10有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面,在每种颜色的3 面旗帜上分别标上号码1、2 和 3, 现任取出3 面,它们的颜色与号码均不相同的概率是。 11在极坐标系中,若过点(3, 0)且与极轴垂直的直线交曲线BA,cos4于两点,则 AB。 12在等差数列 n a中,若0 10 a,则有等式 ),19( 192121 Nnnaaaaaa nn 成立,类比上述性质,相应地:在等此数列 n b中,若1 9 b ,则有等式成立。 二、选择题(本大题满分16 分)本大题共有4 题,每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4 分,不选、 第 2页 (共 9页) 选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13复数的三角形式是是虚数单位 )( 5 sin 5 (cos3iiz ). 5 6 sin 5 6 (cos3)(), 5 4 sin 5 4 (cos3)( ). 5 sin 5 (cos3)(), 5 sin() 5 cos(3)( iDiC iBiA 答() 14设有不同的直线a、b和不同的平面a、,给出下列三个命题: ( 1)若aa /,ab /,则ba /。(2)若aa /,/a,则/a。 ( 3)若a,,则/a。 其中正确的个数是 ( A) 0(B)1(C)2(D)3 答() 15若集合TsRxxyyTRxyyS x 则., 1|.3| 2 是: (D)(C)T.(B)S.)(有限集A. 答() 16下列命题中正确的命题是 ( A)若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点,则 5 52 sin a。 ( B)同时满足 2 3 cos, 2 1 sinaa的角a有且只有一个。 ( C)当1a时,)(arcsin atg的值恒正。 ( D)三角方程3) 3 (xtg的解集为Zkkxx,|。 答() 三、解答题(本大题满分86 分)本大题共有6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17 (本题满分12 分) 已知椭圆C的焦点分别为)0,22()0,22( 21 FF和,长轴长为6,设直2xy交椭圆C于 A、B两点,求线段AB的中点坐标。 解 18 (本题满分12 分) 如图所示四面体ABCD 中, AB、BC、BD 两两互相垂直,且AB=BC=2 ,E 是 AC 中 点,异面直线AD 与 BE 所成的角的大小为 10 10 arccos,求四面体ABCD 的体积。 解 第 3页 (共 9页) 19 (本题满分14 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8 分。已知函数 , 1 , 2 )( 2 x x axx xf。 ( 1)当 2 1 a 时,求函数)(xf的最小值: ( 2)若对任意0)(,1 xfx恒成立,试求实数a的取值范围。 解( 1) 解( 2) 20 (本题满分14 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分4 分,第 2 小题满分 10 分。 根据指令),(r)180180,0(r ,机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度 (为正时,按逆时针方向旋转,为负时,按顺时针方向旋转) ,再朝其面对的方向沿直 线行走距离r。 ( 1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移 动到点( 4,4) 。 ( 2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一小球正向坐 标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2 倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小 球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位)。 解( 1) 解( 2) 21 (本题满分16 分)本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第 2 小题满分6分,第 3 小题满分 6 分。 在 XOY 平面上有一点列,),(,),(),( 222111nnn baPbaPbaP对每个自然数n,点P,位于 函数)100() 10 (2000 2 a a y的图象上,且点 n P,点)0.1()0,(nn与点构成一个以 n P为顶点 的等腰三角形。 ( 1)求点 n P的纵坐标 n b的表达式。 ( 2)若对每个自然数n,以 n b, 21,nn bb为边长能构成一个三角形,求a取值范围。 ( 3)设. 21NnbbbBnn ,若a取(2)中确定的范围内的最小整数,求数列 nB 的最 大项的项数。 解( 1) 解( 2) 解( 3) 第 4页 (共 9页) 22 (本小题满分18 分)本题共有3 个小题,第1 小题满分5分,第 2 小题满分5 分,第 3 小题满 分 8分。 已知复数yxyxiyxwyixzmmiz,),0(1 0 其中和均为实数,i为虚数单 位,且对于任意复数|2| , 0 zwzzwz 有。 ( 1)试求m的值,并分别写出x和y用x、y表示的关系式; ( 2)将(x、y)作为点P的坐标, (x、y)作为点Q的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上 点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q, 当点P在直线1xy上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程; ( 3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试 求出所有这些直线;若不存在,则说明理由。 解( 1) 解( 2) 解( 3) 第 5页 (共 9页) 2000年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准 说明 1本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标 准的精神进行评分。 2评阅试卷,应坚持每题评阅以底,不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅,当 考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的 概念性错误,就不给分。 3第 17 至第 22 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数,给分 或扣分均以1 分为单位。 解答 一、 (第 1 题至第 12 题)每一题正确的给4 分,否则一律得零分。 1 4 2 )3, 2 1 (3 ( 4 , 0) , (6 , 0) 。4 2 e。 51697侧棱相等 /侧棱与底面所成角相等/8X9462。 10 14 1 113212),17( 172121Nnnbbbbbbnn 二、 (第 13 题至第 16 题)第一题正确的给4 分。 题号13141516 代号CAAD 三、 (第 17 题至第 22 题) 17解设椭圆 C 的方程为)(21 2 2 2 2 分 b y a x 由题意1,22,3bca于是 )(41 9 2 2 分的方程为椭圆y x C ,0273610 1 9 2 2 2 2 xx y x xy 得由 因为该二次方程的判别式0,所以直线与椭圆有两个不同交点,( 8 分) 设 )(12) 5 1 , 5 9 ( , 5 18 ),(),( 21 2211 分的中点坐标为故线段 则 设 AB xx yxByxA 18解法一 如图建立空间直角坐标系( 2 分) 由题意,有A(0,2,0),C(2,0,0),E(1, 1,0)。设 D 点的坐标为 (0,0,z)0(z, 第 6页 (共 9页) 则 )10(,4, 4 , 10 1 4 2 cos , 10 10 arccos ,2cos42,BE )(6,2, 0,0 , 1 , 1 2 2 2 分的长度是故得 所成的角的大小为与且 则所成的角为与设 分 BDz z BEAD zBEADAD zADBE 又 )(4, 3 8 , 6 1 分的体积是因此四面体 ABCD BDBCABVABCD 解法二 过 A 引 BE 的平行线, 交与 CB 的延长线于F, DAF 是异面直线BE 与 AD 所成的角, DAF= 10 10 arccos( 4 分) E 是 AC 的中点, B 是 CF 的中点, AF=2BE=22。( 6 分) 又 BF,BA 分别是 DF,DA 的射影,且BF=BC=BA 。 DF=DA 。( 8 分) 三角形 ADF 是等腰三角形,20 cos 1 2DAF AF AD, 故4 22 ABADBD,( 10 分) 又BDBCABVABCD 6 1 , 因此四面体ABCD 的体积是 3 8 ,( 12 分) 19解(1)当2 2 1 )(, 2 1 x xxfa时, )(xf在区间), 1 (上为增函数,( 3 分) )(xf地区间), 1 (上最小值为 2 7 ) 1(f,( 6 分) ( 2)解法一 在区让), 1(上, 020 2 )( 2 2 axx x axx xf恒成立 恒成立,( 8 分) 设),1 (,2 2 xaxxy, 1)1(2 22 axaxxy递增,当1x时,ay3 min ,( 12 分) 于是当且仅当03 minay时,函数0)(xf恒成立, 第 7页 (共 9页) 故3a。( 14 分) ( 2)解法二 , 1 ,2)(x x a xxf,当0a时,函数)(xf的值恒为正,( 8 分) 当0a时,函数)(xf递增,故当axfx3)(,1 min 时,( 12 分) 于是当且仅当03)( min axf时,函数0)(xf恒成立, 故3a。( 14 分) 20解(1)45,24r,得指令为45),24(,( 4 分) ( 2)设机器人最快在点)0,(xP处截住小球( 6 分) 则 因 为 小 球 速 度 是 机 器 人 速 度 的 2 倍 , 所 以 在 相 同 时 间 内 有 22 )40()4(|17|xxx,( 8 分) 。 即0161123 2 xx,得 3 23 x或7x, 要求机器人最快地去截住小球,即小球滚动距离最短,7x, 故机器人最快可在点)0,7(P处截住小球,(10 分) 所给的指令为)13.98,5(,(14 分) 21解(1)由题意, 2 1 nan , 2 1 ) 10 (2000 n n a b,( 4 分) 解( 2)函数)100() 10 (2000a a y n 递减, 对每个自然数n,有
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