第 1 页 共 9 页 2021 届高三数学（文）“大题精练” 17 （12 分）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，公差 d 为整数， 5 35S ，且 2 a， 3 1a， 6 a成等比数列 . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 18（12 分）如图，在四棱锥 中，平面， ，点为的中点 （1）证明： （2）求点到平面的距离 19 （12 分）某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80 名学生，调查他们每周运 动的总时长 （单位：小时） ，按照0,5), 5,10), 10,15), 15,20), 20,25),25,30共 6组进行统计， 得到男 生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2） ，规定每周运动15 小时以上（含15 小时）的称为“ 运动合 格者 ” ，其中每周运动25 小时以上（含25小时）的称为“ 运动达人 ”. 表 1：男生 时长0,5)5,10) 10,15)15,20)20,25)25,30 人数2816842 表 2：女生 时长0,5)5,10) 10,15)15,20)20,25)25,30 人数04121284 PABCDPCABCD 2 2PC2 3AB 24ADBC 90DABABCEPD CEAP EPAC 第 2 页 共 9 页 （1）从每周运动时长不小于20 小时的男生中随机选取2 人，求选到 “ 运动达人 ” 的概率； （2）根据题目条件，完成下面22列联表，并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“ 运动合格者 ” 与性别有关 . 每周运动的时长小于15小 时 每周运动的时长不小于15小 时 总计 男生 女生 总计 参考公式： 2 2() ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd. 参考数据： 2 0 P Kk0.400.250.100.010 0 k 0.7081.3232.7066.635 20 （12分）已知直线 与抛物线：交于，两点，且的面积为 16（ 为坐标原点）. （1）求的方程； （2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交 于点，证明：为定值 . 21 （12 分）已知函数lnfxxax aR. （）讨论 fx 的单调性； （）若fx有两个零点，求实数a的取值范围 . 2xpC 2 20ypx p P QPOQO C lCFl x C ABAB x D AB DF 第 3 页 共 9 页 (二)、选考题：共10 分. 请考生从22、23 题中任选一题做答,如果多做 ,则按所做的第一题计分. 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 3 cos , 23 sin xt yt （t为参数） .以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0. （1）求圆C的极坐标方程； （2）已知直线l与圆C交于 A，B两点，若 2 3OAOB，求直线l的直角坐标方程. 23. （ 10 分）已知函数 121fxxx. （1）求不等式3fx的解集； （2）若 1,0 ，使得不等式 1fxa x 成立，求实数a的最大值 . 第 4 页 共 9 页 2021 届高三数学（文）“大题精练”（答案解析） 17 （12 分）已知等差数列 n a的前 n 项和为nS，公差 d 为整数，5 35S ，且2 a ，3 1a ，6 a 成等比数列 . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 【解析】（1）由 53 535Sa ，得3 7a ，由2 a ，3 1a ，6 a 成等比数列，得 2 263 164a aa，即 33 364adad，整理得 2 314150dd，又因为公差d为整数，所以3d，所以数列 n a的 通项公式为32 n an. （2） 1 11111 32313 3231 n nn b a annnn ，所以 123nn Tbbbb 11111111 1 34477103231nn 11 1 331n31 n n . 18（12 分）如图，在四棱锥中，平面， ，点为的中点 （1）证明： （2）求点到平面的距离 【解析】（1）取的中点，连接在直角梯形中，,， ， 所以 又因为为的中点，所以 因为 平面，平面，所以，又因为，所以平面，所 以在直角中，分别为的中点，因为 PABCDPCABCD 2 2PC 2 3AB24ADBC 90DABABCEPD CEAP EPAC CDF,AF PFABCD2 3AB24ADBC 90DABABC 4ACADCDFCDAFCDPC ABCDAFABCDPCAFPCCDCAFPCD AFCEPCD 2 2PC 4CD,E F,PD CD 第 5 页 共 9 页 ，所以，所以，所以 又因为平面，所以平面，则 （2）设点到平面的距离为，由（ 1）可知平面，所以 ，整理得， 所以点到平面的距离为 19 （12 分）某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80 名学生，调查他们每周运 动的总时长 （单位：小时） ，按照0,5), 5,10), 10,15), 15,20), 20,25),25,30共 6组进行统计， 得到男 生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2） ，规定每周运动15 小时以上（含15 小时）的称为“运动合 格者”，其中每周运动25 小时以上（含25 小时）的称为“运动达人”. 表 1：男生 时长 0,5)5,10)10,15)15,20)20,25)25,30 人数2816842 表 2：女生 时长0,5)5,10)10,15)15,20)20,25)25,30 人数04121284 （1）从每周运动时长不小于20 小时的男生中随机选取2 人，求选到“运动达人”的概率； （2） 根据题目条件， 完成下面 22列联表，并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者” 与性别有关 . 2 2 PCCF CDPC PCDFCPCPFPDCECDCEPF ,AF PF PAFAFPFFCEPAFCEAP EPAChAFPCD 11 33 APCEEPACPACPCE VVh SAF S 1 2 322 2 2 3 1 4 2 2 2 PCE PAC AF S h S EPAC3 第 6 页 共 9 页 每周运动的时长小于15小 时 每周运动的时长不小于15小 时 总计 男生 女生 总计 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd. 参考数据： 2 0 P Kk0.400.250.100.010 0 k0.7081.3232.7066.635 【解析】（1）每周运动的时长在20,25)中的男生有4人，在25,30中的男生有2 人，则共有 2 615C个 基本事件，其中25,30中至少有 1 人被抽到的可能结果有 11 4 2 22 9CCC 个， 所以抽到“运动达人”的概率为 93 155 ； （2）每周运动的时长小于15 小时的男生有26 人，女生有16人；每周运动的时长不小于15 小时的男生有 14 人，女生有24 人.可得下列 22列联表： 每周运动的时长小于15小 时 每周运动的时长不小于15小 时 总计 男生 261440 女生162440 总计423880 2 2 80(262414 16) 40404238 K 2000 66.635 399 ， 所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 20 （12 分）已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（2xpC 2 20ypx pPQPOQO 第 7 页 共 9 页 为坐标原点）. （1）求的方程； （2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交 于点，证明：为定值 . 【解析】（1）将代入，得，所以的面积为. 因为，所以，故的方程为. （2）证明：由题意设直线的方程为，由，得. 设，则，所以.因为线段的中点 的横坐标为， 纵坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 令，得，所以的横坐标为，所以，故为定 值. 21 （12 分）已知函数 lnfxxax aR. （）讨论fx的单调性； （）若 fx 有两个零点，求实数 a的取值范围 . 【解析】（）函数lnfxxax的定义域为0,， 1 fxa x . 当0a时，由0fx，知函数yfx在0,内单调递增； 当0a时，由0fx，即 1 0a x 得 1 0 x a ；由0fx，即 1 0a x 得 1 x a .所以，函数 yfx在 1 0, a 内单调递增， 在 1 , a 内单调递减 .因此， 当0a时，yfx在0,内单调递 增；当0a时，yfx在 1 0, a 内单调递增；在 1 , a 内单调递减； C lCFl x C ABAB x D AB DF 2xp 2 2ypx 2ypPOQ 2 1 24416 2 ppp 0p2pC 2 4yx l 10yk xk 2 1 4 yk x yx 2222 240k xkxk 11 ,A x y 22 ,B xy 2 122 24k xx k 2 122 44k xxpAB k AB 2 12 2 2 2 xxk k 2 k AB 2 2 212k yx kkk 0y 2 2 3x k D 2 2 3 k 22 22 312 k D k F 2 AB DF 第 8 页 共 9 页 （）当0a时，则函数yfx在0,上为增函数，函数yfx最多一个零点，不合乎题意， 舍去；当 0a 时，由（）知，函数yfx在 1 0, a 内单调递增，在 1 , a 内单调递减 . 且当0 x时，fx，当x时，fx，则 11 ln1ln10fa aa ，即 ln1a，解得 1 0a e .因此，实数 a的取值范围是 1 0, e . (二)、选考题：共10 分. 请考生从 22、 23 题中任选一题做答,如果多做 ,则按所做的第一题计分 . 22 （10 分）在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 3 cos , 23 sin xt yt （t为参数） .以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0. （1）求圆C的极坐标方程； （2）已知直线l与圆C交于 A，B两点，若 2 3OAOB，求直线l的直角坐标方程. 【解析】（1）由圆C的参数方程 3 cos , 23 sin xt yt （t为参数），得圆C的普通方程为 2 2 23xy，得 22 410 xyy，圆C的极坐标方程为 2 4sin10； （2） 将直线l的极坐标方程代入圆C的极坐标方程， 得 2 4sin10， 又 12 10，0 ， 2 16sin40 x，得 1 sin 2 ，所以4sin2 3OAOB，所以 3 或 2 3 .所以直线l的 直角坐标方程为 3yx. 23. （ 10 分）已知函数1 21fxxx. （1）求不等式3fx的解集； （2）若1,0，使得不等式1fxa x成立，求实数a的最大值 . 第 9 页 共 9 页 【解析】（1） 1 3 , 2 1 1212, 1 2 3 ,1 x x fxxxxx x x ，当 1 2 x时，33x，解得1x； 当 1 1 2 x时，23x，不成立；当1x时，33x，解得1x.综上可知，不等式3fx 的解集为, 11,. （2） 1,0 x ，使得不等式 1211xxa x 成立，即 1 1 21xxax ，所以 2 1 x a x 在 1,0 x 时有解， 21 1 11 x y xx ，当 1,0 x 时， 11 ,1 12x ， 23 ,2 12 x x ，所以 2a