第1页（共8页） 2018 年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （三角函数三角恒等变换） 一、选择题 1（2018 北京文） 在平面坐标系中，AB ， CD ， EF ， GH 是圆 22 1xy上的四段弧（如图）， 点P在其中一段上，角以 Ox 为始边， OP 为终边， 若 tancossin，则P所在的圆弧是（） A AB B CD C EF D GH 1【答案】 C 【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线 2（2018 天津文） 将函数sin(2) 5 yx的图象向右平移 10 个单位长度， 所得图象对应的函数 （） （A）在区间, 4 4 上单调递增（B）在区间,0 4 上单调递减 （C）在区间, 4 2 上单调递增（D）在区间, 2 上单调递减 2 【答案】 A 【解析】由函数sin 2 5 yx的图象平移变换的性质可知： 将sin 2 5 yx的图象向右平移 10 个单位长度之后的解析式为： sin 2sin2 105 yx x 则函数的单调递增区间满足：222 22 kxkkZ ， 即 44 kxkkZ， 令 0k 可得函数的一个单调递增区间为, 4 4 ，选项 A 正确， B 错误； 函数的单调递减区间满足： 3 222 22 kxkkZ， 即 3 44 kxkkZ，令0k可得函数的一个单调递减区间为 3 , 44 ， 选项 C，D 错误；故选A 第2页（共8页） 3（2018 天津理） 将函数sin(2) 5 yx的图象向右平移 10 个单位长度，所得图象对应的函 数 （） (A) 在区间 35 , 44 上单调递增(B)在区间 3 , 4 上单调递减 (C)在区间 53 , 42 上单调递增(D)在区间 3 ,2 2 上单调递减 3 【答案】 A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知： 将 sin2 5 yx的图象向右平移 10 个单位长度之后的解析式为： sin 2sin2 10 5 yx x， 则函数的单调递增区间满足： 2 22 2 2 kxkkZ ， 即 4 4 kxkkZ ， 令1k可得一个单调递增区间为 3 5 , 44 ， 函数的单调递减区间满足： 3 2 22 2 2 kxkkZ ，即 3 4 4 kxkkZ， 令1k可得一个单调递减区间为 5 7 , 44 ，故选 A 4（2018 全国新课标文）已知函数 22 2cossin2fxxx，则（） Afx的最小正周期为 ，最大值为3 Bfx的最小正周期为 ，最大值为4 C fx的最小正周期为2，最大值为3 D fx的最小正周期为2，最大值为4 4、答案： B 解答： 222 ( )2cos(1cos)23cos1f xxxx ， 最小正周期为，最大值为 4. 5（2018 全国新课标文）若( )cossinf xxx 在 0,a 是减函数，则a的最大值是（） A 4 B 2 C 3 4 D 5 【答案】 C 【解析】因为cossin2 cos 4 fxxxx，所以由 022 4 kxk， kZ 得 3 22 44 kxk ， k Z， 因此 3 0, 44 a， 0 4 a， 从而a的最大值为 4 ， 故选 C 第3页（共8页） 6（2018 全国新课标理）若 ( )cossinf xxx 在 ,a a 是减函数，则a的最大值是（） A 4 B 2 C 3 4 D 6 【答案】A 【解析】因为cossin2 cos 4 fxxxx， 所以由 022, 4 kxkkZ得 3 22, 44 kxkkZ， 因此 3 , 44 a a ， , 4 aaa， 3 4 a， 0 4 a，从而 a的最大值为 4 ，故选 A 7（2018 全国新课标文、理）若 1 sin 3 ，则cos2（） A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 7. 答案： B 解答： 227 cos212sin1 99 . 故选 B. 8（2018 全国新课标文）函数 2 tan ( ) 1tan x f x x 的最小正周期为（） A 4 B 2 CD2 8. 答案： C 解答： 2222 2 sin tansincos1 cos ( )sincossin 2 sin1tansincos2 1 cos x xxx x f xxxx xxxx x ， ( )f x 的周期 2 2 T. 故选 C. 二、填空 1 （ 2018 北京理） 设函数 f（x） = cos()(0) 6 x，若 ( )() 4 f xf对任意的实数x 都成立，则 的最小值为_ 1 【答案】 2 3 【解析】 4 fxf 对任意的实数x都成立，所以 4 f 取最大值， 2 46 kkZ ， 2 8 3 kkZ ， 0， 当0k时，取最小值为 2 3 第4页（共8页） 2（2018 江苏） 已知函数sin(2)() 22 yx的图象关于直线 3 x对称，则的值是 2 【答案】 6 【解析】由题意可得 2 sin1 3 ，所以 2 32 k， 6 kkZ，因为 22 ，所以0k， 6 3（2018 全国新课标文）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上 有两点1Aa，2Bb，且 2 cos2 3 ，则ab（） A 1 5 B 5 5 C 2 5 5 D 1 3答案： B 解答：由 22 cos22cos1 3 可得 2 2 222 5cos1 cos 6sincostan1 ，化简可 得 5 tan 5 ；当 5 tan 5 时，可得 5 15 a ， 5 25 b ，即 5 5 a， 25 5 b，此 时 5 5 ab；当 5 tan 5 时，仍有此结果 . 4（2018 全国新课标理） 已知函数2sinsin2fxxx， 则fx的最小值是 _ 4. 答案： 3 3 2 解答： ( )2sinsin 2f xxx，( )f x 最小正周期为 2T ， 2 ( )2(coscos2 )2(2coscos1)fxxxxx，令 ( )0fx，即 2 2coscos10 xx， 1 cos 2 x 或cos 1x . 当 1 cos 2 ，为函数的极小值点，即 3 x或 5 3 x, 当 cos1,xx 53 ()3 32 f. 3 ()3 32 f，(0)(2 )0ff， ( )0f ( )f x 最小值为 3 3 2 . 5（2018 全国新课标文）已知 51 tan() 45 ，则 tan _ 第5页（共8页） 5 【答案】 3 2 【解析】 5 tantan 5tan11 4 tan 5 41tan5 1tantan 4 ，解方程得 3 tan 2 6（2018 全国新课标理）已知sin cos1， cossin0，则 sin() _ 6 【答案】 1 2 【解析】sincos1， cossin0 ， 22 1sincos 1， 1 sin 2 ， 1 cos 2 ， 因此 22111111 sinsincoscossincos1sin1 224442 7（2018 全国新课标理）函数 cos 3 6 fxx 在0，的零点个数为_ 7答案：3 解答：由( )cos(3)0 6 f xx，有3() 62 xkkZ，解得 39 k x，由 0 39 k 得k可取0,1,2，( )cos(3) 6 f xx在0,上有3个零点 . 三、解答题 1（2018 北京文） 已知函数 2 sin3sincosfxxxx （1）求 fx 的最小正周期； （2）若 fx 在区间 3 m,上的最大值为 3 2 ，求m的最小值 1【答案】（1）；（ 2） 3 【解析】（ 1） 1cos233111 sin2sin 2cos2sin 2 2222262 x fxxxxx， 所以 fx 的最小正周期为 2 2 T （2）由（ 1）知 1 sin 2 62 fxx， 因为 3 xm,，所以 5 22 666 xm, 要使得fx 在 3 m, 上的最大值为 3 2 ，即 sin 2 6 x 在 3 m, 上的最大值为1 所以 2 62 m，即 3 m所以m的最小值为 3 第6页（共8页） 2.（2018 上海）设常数aR，函数f x（ ）22?asin xcos x （1）若f x（ ）为偶函数，求a 的值； （2）若 4 f 31，求方程12f x（ ）在区间， 上的解。 3（2018 江苏） 已知,为锐角， 4 tan 3 ， 5 cos() 5 （1）求 cos2 的值；（2）求tan()的值 3 【答案】 （1） 7 25 ； （2） 2 11 【解析】 （1）因为 4 tan 3 ， sin tan cos ，所以 4 sincos 3 因为 22 sincos1，所以 2 9 cos 25 ，因此， 2 7 cos22cos1 25 （2）因为，为锐角，所以0, 又因为 5 cos 5 ，所以 2 2 5 sin1cos 5 ， 因此 tan2因为 4 tan 3 ，所以 2 2tan24 tan2 1tan7 ， 因此， tan2tan2 tantan 2 1tan2tan11 4（2018 江苏） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧 的中点）和线段MN 构成已知圆O 的半径为40 米，点 P 到 MN 的距离为50 米现规划在此农 田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要 求,A B均在线段 MN 上，,C D均在圆弧上设OC 与 MN 所成的角为 （1）用分别表示矩形ABCD 和CDP的面积，并确定 sin的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜， 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4: 3求当为 何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 4 【答案】 （1） 1 , 4 1； （2）当 6 时，能使甲、乙两 种蔬菜的年总产值最大 【解析】 第7页（共8页） （1）连结 PO并延长交 MN 于 H ，则 PHMN ，所以10OH 过 O作OEBC 于 E ，则 OEMN，所以COE， 故40cosOE，40sinEC， 则矩形 ABCD的面积为 2 40cos40sin10800 4sincoscos， CDP的面积为 1 240cos4040sin1600 cossincos 2 过 N 作 GNMN ，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和K，则10GKKN 令 0 GOK，则 0 1 sin 4 ， 0 0, 6 当 0 2 ,时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以 sin的取值范围是 1 , 4 1 （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3 ， 设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为30k k， 则年总产值为 4800 4sincoscos31600 cossincoskk 8000sincoscosk， 0 2 , 设 sincoscosf， 0 2 ,， 则 222 cossinsin2sinsin12sin1sin1f 令=0f，得 6 ，当 0 6 ,时，0f，所以 f为增函数； 当 , 6 2 时，0f，所以 f为减函数， 因此，当 6 时， f 取到最大值 5（2018 浙江） 已知角 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ 34 55 ，-） （）求sin（ + ）的值； （）若角 满足 sin（ + ） = 5 13 ，求 cos的值 第8页（共8页） 5 .答案： （1） 4 5 ； （ 2） 56 65 或 16 65 . 解答：（1）