带电粒子在复合场中的运动 1带电粒子在电场中常见的运动类型 (1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU 1 2mv 21 2mv 2 0来求解对于匀强电场，电场力做 功也可以用WqEd 求解 (2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题对于类平抛运动可直接利用平抛 运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动分解的方法来处理 2带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型 (1)匀速直线运动：当vB 时，带电粒子以速度v 做匀速直线运动 (2)匀速圆周运动： 当 vB 时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度做匀速圆周运动 3复合场中是否需要考虑粒子重力的三种情况 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太 小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力 (2)题目中有明确说明是否要考虑重力的情况 (3)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分 析出是否要考虑重力 1正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提 带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始运动状态的速度，因 此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析 2灵活选用力学规律是解决问题的关键 当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解 当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联 立求解 当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解. 考向 1带电粒子在叠加场中的运动 例 1如图 1 所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的 匀强磁场， 磁感应强度大小为B0.5 T， 还有沿 x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E2 N/C. 在其第一象限空间有沿y 轴负方向的、场强大小也为E 的匀强电场，并在yh0.4 m 的区域 有磁感应强度也为B 的垂直于纸面向里的匀强磁场一个带电荷量为q 的油滴从图中第三象 限的 P 点得到一初速度，恰好能沿PO 做匀速直线运动(PO 与 x 轴负方向的夹角为 45)， 并从原点O 进入第一象限已知重力加速度g10 m/s2，问： 图 1 (1)油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何 种电荷； (2)油滴在 P 点得到的初速度大小； (3)油滴在第一象限运动的时间 审题突破在第三象限油滴恰好能沿PO 做匀速直线运动需要满足什么条件？根据夹角为 45 ，重力、电场力有什么数值关系？油滴进入第一象限后做什么运动？ 解析(1)根据受力分析 (如图 )可知油滴带负电荷， 设油滴质量为m，由平衡条件得： mgqEF 112. (2)由第 (1)问得： mgqE qvB 2qE 解得： v 2E B 4 2 m/s. (3)进入第一象限，电场力和重力平衡，知油滴先做匀速直线运动，进入yh 的区域后做匀速 圆周运动，轨迹如图，最后从x 轴上的 N 点离开第一象限 由 OA 匀速运动的位移为x1 h sin 45 2h 其运动时间：t1 x1 v 2h 2E B hB E 0.1 s 由几何关系和圆周运动的周期关系式T 2 m qB 知， 由 AC 的圆周运动时间为t2 1 4 T E 2gB 0.628 s 由对称性知从CN 的时间 t3t1 在第一象限运动的总时间tt1t2t3 20.1 s 0.628 s0.828 s 答案(1)112油滴带负电荷(2)42 m/s (3)0.828 s 以题说法带电粒子在叠加场中运动的处理方法 1弄清叠加场的组成特点 2正确分析带电粒子的受力及运动特点 3画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律 (1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止例如电场与磁场中满足 qEqvB；重力场与磁场中满足mgqvB；重力场与电场中满足mgqE. (2)若三场共存时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力FqvB 的方向与速度v 垂直 (3)若三场共存时，粒子做匀速圆周运动，则有mg qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运 动，即 qvBmv 2 r . (4)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定 律求解 如图 2 所示，水平地面上方竖直边界MN 左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场B 和沿竖直方向的匀强电场E2(未画出 )，磁感应强度 B1.0 T，MN 边界右侧离地面h3 m 处 有长为 L0.91 m 的光滑水平绝缘平台，平台的左边缘与MN 重合， 平台右边缘有一质量m 0.1 kg、电量 q 0.1 C 的带正电小球，以初速度v00.6 m/s 向左运动此时平台上方存在E1 2 2 N/C 的匀强电场，电场方向与水平方向成 角，指向左下方，小球在平台上运动的过程 中， 为 45 至 90 的某一确定值 小球离开平台左侧后恰好做匀速圆周运动小球可视为质点， g10 m/s2.求： 图 2 (1)电场强度E2的大小和方向； (2)小球离开平台左侧后在磁场中运动的最短时间； (3)小球离开平台左侧后，小球落地点的范围(计算结果可以用根号表示) 答案(1)10 N/C ，方向竖直向上(2)2 3 s(3)距 N 点左边3 m、右边 5 5 m 的范围内 解析(1)因为小球在MN 边界左侧做匀速圆周运动，其所受到的电场力必等于自身重力，有 qE2mg 得 E210 N/C，方向竖直向上 (2)若 90 ，小球匀速通过MN 有最小速度： vmin 0.6 m/s 若 45 ，小球匀加速通过MN 有最大速度 此时 E1qcos ma a E1qcos m 2 m/s2 由 v 2 maxv 2 02aL 可得： vmax2 m/s 综合分析得：小球通过MN 后的速度为0.6 m/svA2 m/s 小球以 2 m/s 在磁场中做匀速圆周运动的时间最短， 根据 Bqvm v 2 R 和 T 2 R v 得： Rmaxmv max Bq 2 m T 2 m Bq 2s， 因为 sin hRmax Rmax 1 2 ，所以 30 所以小球在磁场中转过的角度为120 ， 所以小球在磁场中运动的时间t 1 3 T 2 3 s. (3)小球落在N 点左边最大距离时，设到N 点距离为x，则 xRmaxcos30 3 m 小球从 MN 边界飞出的最小半径Rmin mvmin Bq 0.6 m 设小球落到N 点右边时，到N 点的距离为s，小球落在N 点右边的最大距离由平抛运动得 h2R 1 2gt 2 svt v BqR m s 1 5 h2R R2 当 R1 m 时， s 有最大值 因 0.6 mR 1.5 m，故 s 1 5 h 2R R 2成立 代入数据解得s 5 5 m 所以小球的落点在距N 点左边3 m、右边 5 5 m 的范围内 考向 2带电粒子在组合场中的运动分析 例 2为研究带电粒子在电场和磁场中的偏转情况，在xOy 平面内加如图3 所示的电场和磁 场，第二象限 10 cm x0 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B，其大小为0.2 T；在第一象 限内有一电场强度方向沿y 轴负方向且可沿x 轴平移的条形匀强电场，其宽度 d5 cm.在 A( 6 cm,0)点有一粒子发射源， 向 x 轴上方 180 范围内发射速度大小为v2.0106m/s 的负粒子， 粒子的比荷为q/m2.0108C/kg，不计算粒子的重力和相互作用 图 3 (1)若粒子与x 轴正方向成30 角方向射入磁场，求该粒子在磁场中运动的时间； (2)求从 A 处发射的所有粒子中与y 轴交点的最大值坐标； (3)当电场左边界与y 轴重合时满足第(2)问条件的粒子经过电场后恰好平行x 轴从其右边界飞 出，求匀强电场的电场强度E 的大小 (4)现将条形电场沿x 轴正向平移，电场的宽度和电场强度E 仍保持不变，能让满足第(2)问条 件的粒子经过电场后从右边界飞出，在此情况下写出电场左边界的横坐标x0与从电场右边界 出射点的纵坐标y0的关系式，并绘出图线 审题突破粒子速度确定、比荷确定，则在磁场中做圆周运动的半径一定，与x 轴成 30 角 方向射入时，对应的圆心角是多少呢？A 与粒子做圆周运动的轨迹和y 轴交点的连线是弦， 弦何时最大？你能结合几何关系得到电场左边界的横坐标x0与从电场右边界出射点纵坐标y0 的函数关系表达式吗？ 解析(1)设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r， 由牛顿第二定律得qvBmv 2 r 得 r mv qB 0.05 m 5 cm 粒子在磁场中运动的周期为T 2 m qB 2 10 7 s 如图所示为粒子在磁场中运动的轨迹 由几何关系得 60 t 2 T 12 10 7 s. (2)设从 y 轴最上方飞出的粒子坐标为(0，y1) 由几何关系得(2r)262y21 得 y18 cm. (3)如图所示，设粒子从磁场射出时速度方向与x 轴的夹角为 ， 有 sin 6 10 ，即 37 ， 设粒子在电场中运动的时间为t1，t1 d vcos 设粒子的加速度大小为a，则 aqE m vsin at1 联立解得Emv 2cos sin qd 1.92105N/C. (4)如图所示，带电粒子离开磁场后先做匀速直线运动，后做类平抛运动电场左边界的横坐 标 x0与从电场右边界出射点纵坐标y0的函数关系为 y1(x0 d 2)tan y 0， 即 y06.1250.75x0(cm) 当 x00 时，从电场右边界出射点的纵坐标为y06.125 cm， 当 y00 时，电场左边界的横坐标为x0 49 6 cm. 图线如图所示 答案(1) 12 10 7 s(2)8 cm(3)1.92105N/C(4)y06.1250.75x0(cm)见解析图 以题说法设带电粒子在组合场内的运动实际上也是运动过程的组合，解决方法如下： (1)分别研究带电粒子在不同场区的运动规律在匀强磁场中做匀速圆周运动在匀强电场中， 若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平 抛运动 (2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理 (3)当粒子从一个场进入另一个场时，分析转折点处粒子速度的大小和方向往往是解题的突破 口 如图 4 所示，相距3L 的 AB、CD 两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相 反的有界匀强电场，其中PT 上方的电场的场强方向竖直向下，PT 下方的电场的场强方 向竖直向上， 电场的场强大小是电场的场强大小的两倍，在电场左边界AB 上有点 Q，PQ 间距离为L.从某时刻起由Q 以初速度v0沿水平方向垂直射入匀强电场的带电粒子，电量为 q、 质量为 m.通过 PT 上的某点R 进入匀强电场后从CD 边上的 M 点水平射出， 其轨迹如图， 若 PR 两点的距离为2L.不计粒子的重力试求： 图 4 (1)匀强电场的电场强度的大小和MT 之间的距离； (2)有一边长为a、由光滑弹性绝缘壁围成的正三角形容器，在其边界正中央开有一小孔S，将 其置于 CD 右侧且紧挨CD 边界，若从Q 点射入的粒子经AB、 CD 间的电场从S孔水平射入 容器中欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出 (粒子与绝缘壁碰撞时无机 械能和电量损失)，并返回 Q 点，需在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒子运动的半 径小于 1 2a，求磁感应强度 B 的大小应满足的条件以及从Q 出发再返回到Q 所经历的时间 答案(1) mv 2 0 qL 1 2 L(2)B 2mv012n qa ，n1,2， 6L v0 6n1 a 2 2n1 v0 ，n1,2， 解析(1)设粒子经 PT 直线上的点R 由 E2电场进入 E1电场，由Q 到 R 及 R 到 M 点的时间分 别为 t2与 t1，到达 R 时竖直速度为vy， 则由 FqE ma，