数形结合与实数的运算 1如图，矩形OABC的边OA长为 2，边AB长为 1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线 OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是(D) ( 第 1 题图) A. 2.5B. 22 C.3D.5 2计算8 1 2 (2) 0的结果为( C) A. 22B.21 C. 3D. 5 3已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是(C) ( 第 3 题图) A.m0B.n0 C.mn0 4定义一种运算，其规则为ab1 a 1 b ，根据这个规则，计算23 的值是( A) A. 5 6 B. 1 5 C. 5D. 6 5如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数3的点最接近的是(B) ( 第 5 题图) A. 点AB. 点B C. 点CD. 点D 6实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a| |b|( 填“”“”或“”) ( 第 6 题图) 7计算： |3 23| ( 2016) 0 1 2 1 2 3 8已知a1|ab1| 0，则a b_1_ 9按下面程序计算：输入x3，则输出的答案是 _12_ 10定义运算a?ba(1b) ，下面给出了关于这种运算的几个结论： 2? ( 2)6；a?bb?a；若ab0，则(a?a) (b?b) 2ab；若a?b0， 则a0. 其中正确结论的序号是 _(在横线上填上你认为所有正确结论的序号) 11设S11 1 1 2 1 2 2，S 21 1 2 2 1 3 2，S31 1 3 2 1 4 2， Sn1 1 n 2 1 （n1） 2. 设SS1S2Sn，则Sn 22n n1 ( 用含n的代数式表示，其中n为正整数 ) 12下面两个多位数1248624， 6248624都是按照如下方法得到的：将第一位数字 乘 2，若积为一位数，将其写在第2 位上；若积为两位数，则将其个位数字写在第2 位对 第 2位数字再进行如上操作得到第3位数字后面的每一位数字都是由前一位数字进行如 上操作得到的当第1 位数字是3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100 位的所有数字之和是495 13有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是 5，可发现第1 次输出的结果是 8，第 2 次输出的结果是4则第2015 次输出的结果是 _4_ ( 第 13 题图) 解：由已知可得：第1 次输出的结果为8，第 2 次输出的结果为4，第 3 次输出的结果为2， 第 4 次输出的结果为1，第 5 次输出的结果为4所以规律为从第2 次开始每三次一个循 环，(20151)36711，所以第2015 次输出的结果是4. 14计算： ( 5) 03 8( 1) 2015 3tan60. 解：原式 121331. 15计算：(32) 0 1 3 1 4cos 30| 327|. 解：原式 134 3 2 2 34. 16我们曾经研究过nn的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为1 222 3 2 n 2. 但 n为 100 时， 应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决 这个问题首先，通过探究我们已经知道011223(n1)n 1 3n (n1)(n 1)时，我们可以这样做： (1) 观察并猜想： 1 222(10)1(11)2101212(12)(0112) 1 22232(10)1(11)2(12)3 101212323 (123)(011223) 1 2223242(10)1(11)2(12)3_ 101212323 _ (1234)(_) (2) 归纳结论： 1 22232 n 2(10)1(11)2(12)3 (1 n1)n1012 12323n(n1)n (_)(_) _ _ 1 6 _ (3) 实践应用： 通过以上探究过程，我们就可以算出当n为 100 时，正方形网格中正方形的总个数是 _ 解：(1) 依次填： (13)4；434；01122334. (2) 依次填： 123n；011223(n1)n； 1 2n (n1)； 1 3n (n 1)(n1)；n(n1)(2n1) (3)338350. 17如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且A，B两点之间的距离表示为AB，在 数轴上A，B两点之间的距离AB|ab|. ( 第 17 题图) 回答下列问题： (1) 在数轴上表示2 和 5 的两点之间的距离是 _3_， 在数轴上表示1 和3 的两点之间的距 离是_4_ (2) 在数轴上表示x和5 的两点之间的距离是|x5| (3) 若x表示一个有理数，则|x1| |x3| 有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有， 请说明理由 解：(1) 数轴上表示2 和 5 的两点之间的距离是 |5 2| 3，数轴上表示1 和3 的两点之间 的距离是 |1 ( 3)| 4. (2) 根据绝对值的定义知：数轴上表示x和5 的两点之间的距离是|x( 5)| |x5| 或| 5x| |x5|. (3) 根据绝对值的定义知：|x1| |x3| 可表示点x到表示 1 与3 的两点的距离之和 根 据几何意义分析可知：当x在3 与 1之间时，|x1| |x3| 有最小值4. 18我们知道，一元二次方程x 21 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 1. 若我 们规定一个新数“ i ”， 使其满足i 21(即方程 x 21 有一个根为 i) ，并且进一步规定： 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1i ，i2 1，i 3i2i ( 1)i i ，i4(i2)2( 1)21，从而对于任意正整数 n，我们可 以得到 i 4n1 i 4ni (i4)ni i ，同理可得 i 4n21，i4n3 i ，i 4n1. 求 i i2i3 i 4i2015 i 2016 的值 解：由题意得， i 1i ，i21，i3i2i ( 1)i i ， i4(i2)2( 1)21，i5i4 i i ，i 6i5i 1， 故可发现 4 次一循环，一个循环内的和为0. 20164504，即2016 是 4 的整数倍 i i 2i3i4i2015 i 2016 0.