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20 初中数学竞赛辅导资料 一元一次方程解的讨论 甲内容提要 1, 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的 解。一元方程的解也叫做根。 例如:方程2x60,x(x-1)=0,|x|=6,0 x=0,0 x=2 的解 分别是:x=3,x=0 或 x=1,x= 6,所有的数,无解。 2, 关于 x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b 后, 讨论它的解:当a0 时,有唯一的解x= a b ; 当 a=0 且 b0 时,无解; 当 a=0 且 b0 时,有无数多解。 (不论x 取什么值, 0 x0 都成立) 3,求方程 ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解 当 ab 时,方程有整数解; 当 ab,且 a、b 同号时,方程有正整数解; 当 a、b 同号时,方程的解是正数。 综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b 乙例题 例 1a 取什么值时,方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解?无解? 有无数多解?是正数解? 解:当a0 且 a2 时,方程有唯一的解,x= a 4 当 a=0 时,原方程就是0 x= 8,无解; 当 a=2 时,原方程就是0 x=0 有无数多解 由可知当a0 且 a2 时,方程的解是x= a 4 ,只要 a 与 4 同号, 即当 a0 且 a2 时,方程的解是正数。 例 2k 取什么整数值时,方程 k(x+1)=k 2(x 2)的解是整数? ( 1 x)k=6 的解是负整数? 解:化为最简方程(k2)x=4 当 k+2 能整除 4,即 k+2= 1, 2, 4 时,方程的解是整数 k=1, 3,0, 4,2, 6 时方程的解是整数。 化为最简方程kx=k6, 当 k0 时 x= k k6 =1 k 6 , 21 只要 k 能整除 6,即 k=1, 2, 3, 6 时, x 就是整数 当k=1,2,3 时,方程的解是负整数5, 2, 1。 例 3己知方程 a(x2)=b(x+1) 2a无解。问a 和 b 应满足什么关系? 解:原方程化为最简方程:(ab)x=b 方程无解,ab=0 且 b 0 a和 b 应满足的关系是a=b0。 例 4a、b 取什么值时,方程(3x2)a+(2x3)b=8x7 有无数多解? 解:原方程化为最简方程:( 3a+2b8)x=2a+3b 7, 根据0 x0 时,方程有无数多解,可知 当 0732 0823 ba ba 时,原方程有无数多解。 解这个方程组得 1 2 b a 答当 a=2 且 b=1 时,原方程有无数多解。 丙练习( 9) 1,根据方程的解的定义,写出下列方程的解: 1 (x+1)=0,x2=9, |x|=9,|x|=3, 3x+1=3x 1,x+2=2+x 2,关于 x 的方程 ax=x+2 无解,那么a_ 3,在方程 a(a3)x=a 中, 当 a 取值为时,有唯一的解;当 a时无解; 当 a时 ,有无数多解;当 a时 ,解是负数。 4, k 取什么整数值时,下列等式中的x 是整数? 1x= k 4 x= 1 6 k x= k k32 x= 1 23 k k 5, k 取什么值时,方程xk=6x 的解是正数?是非负数? 6, m 取什么值时,方程3( m+x)=2m1 的解是零?是正数? 7, 己知方程 2 2 1 4 63ax 的根是正数,那么a、 b 应满足什么关系? 8, m 取什么整数值时,方程mm x 3 2 1)1 3 (的解是整数 ? 9, 己知方程axx b 2 3 1)1( 2 有无数多解,求a、b 的值。
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