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第 1 页 共 7 页 2021 届高三数学(理)“大题精练”(答案解析) 17在 ABC中,内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c,已知 b2acos C 3 1 求A; 2若 b2 3c ,且 ABC面积 2 3 ,求a的值 18在ABC中,CACBCACB. (1) 求角C的大小; (2)若CDAB,垂足为D,且 4CD ,求ABC面积的最小值 . 19 在 ABC中,内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c, 0 30B , 三边, ,a b c成等比数列, 且ABC面积为 1,在等差数列 n a中, 1 1a,公差为 b. ( 1)求数列 n a 的通项公式; ( 2)数列 n b满足 1 1 n nn b a a ,设 n T为数列 n b的前n项和,求 n T的取值范围 . 第 2 页 共 7 页 20某地拟规划种植一批芍药,为了美观,将种植区域(区域)设计成半径为 1km的 扇形 EAF,中心角 42 EAF为方便观赏,增加收入,在种植区域外 围规划观赏区(区域)和休闲区(区域),并将外围区域按如图所示的方案扩建成 正方形ABCD,其中点E,F分别在边BC和CD上已知种植区、观赏区和休闲区 每平方千米的年收入分别是10 万元、 20 万元、 20 万元 ( 1)要使观赏区的年收入不低于5 万元,求的最大值; ( 2)试问:当为多少时,年总收入最大? 21已知函数 4 ( )f xxmm x . (1)当 0m 时求函数( )f x 的最小值; (2)若函数( )5f x在1,4x上恒成立求实数m的取值范围 . 22已知函数 3211 1 323 a fxxaxxaR. ( 1)若1a,求函数fx的极值; ( 2)当0 1a 时,判断函数 fx 在区间0,2上零点的个数 . 第 3 页 共 7 页 2021 届高三数学(理)“大题精练”(答案解析) 17在 ABC中,内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c,已知 b2acos C 3 1 求A; 2若 b2 3c ,且 ABC面积 2 3 ,求a的值 解: (1)2 3 b cos C a , b=2a(cosCcos 3 +sinCsin 3 ) ,可得: b=acosC+ 3 asinC, 由正弦定理可得:sinB=sinAcosC+ 3 sinAsinC , 可得: sin(A+C )=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+ 3sinAsinC , 可得: cosA= 3 sinA,可得: tanA= 3 3 , A( 0, ) , A= 6 ( 2) b2 3c ,且 ABC 面积 2 3= 1 2 bcsinA= 1 2 2 3c c 1 2 , 解得: c=2,b=4 3 , 由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2 4 3 2 3 2 =28,解得: a=2 7 18在ABC中,CACBCACB. (1) 求角C的大小; (2)若CD AB,垂足为D,且4CD,求ABC面积的最小值 . 解: (1)由CACBCACB,两边平方 22 CACBCACB , 即 22 CACBCACB ,得到 20CA CB ,即 CACB 。 所以 2 C. ( 2)在直角ADC中, 4 sinsin CD AC AA , 第 4 页 共 7 页 在直角BDC中, 4 sinsin CD BC BB , 又0, 2 A,所以 sinsincos 2 BAA, 所以 1144816 22 sinsinsin cossin2 ABC SCA CB ABAAA , 由+ 2 A B 得,20,A,故sin20,1A, 当且仅当 4 A时, max sin21A,从而 min 16 ABC S. 19 在ABC中,内角,A B C的对边分别为, ,a b c, 0 30B , 三边, ,a b c成等比数列, 且ABC面积为 1,在等差数列 n a中, 1 1a,公差为 b. ( 1)求数列 n a的通项公式; ( 2)数列 n b满足 1 1 n nn b a a ,设 n T为数列 n b的前n项和,求 n T的取值范围 . 解: (1) 2 bac, 2111 1 224 Sacb, 2b , 21 n an, * nN . ( 2) 111 22121 n b nn , 11111111 11 23352121221 n T nnn n T是关于 n 的增函数 * nN, , 11 32 n T. 20某地拟规划种植一批芍药,为了美观,将种植区域(区域)设计成半径为1km的 扇形 EAF,中心角 42 EAF为方便观赏,增加收入,在种植区域外 围规划观赏区(区域)和休闲区(区域),并将外围区域按如图所示的方案扩建成 正方形ABCD,其中点E,F分别在边BC和CD上已知种植区、观赏区和休闲区 每平方千米的年收入分别是10 万元、 20 万元、 20 万元 第 5 页 共 7 页 ( 1)要使观赏区的年收入不低于5 万元,求的最大值; ( 2)试问:当为多少时,年总收入最大? 解: ( 1) 1AFAE ,AD AB, 2 DB,所以 ADF 与 ABE 全等 . 所以 1 22 DAFBAE ,观赏区的面积为 1111 2?sin?cossin 2sincos 22222 SDFADDAFDAFDAF ,要使得观赏区的年收入不低于5 万元,则要求 51 204 S,即 1 cos 2 ,结合 42 可知 43 ,则的最大值为 3 . ( 2)种植区的面积为 11 22 SAF AE , 正方形面积为 221cos21sin cos 22 DAF SADDAF, 设年总收入为( )W万元,则 1sin1 ( )1020201020()5201010sin5 22 WSSSSSS , 其中 42 ,求导可得( )10cos5W. 当 43 时,( )0W,( )W递增;当 32 时,( )0W,( )W递增 . 所以当 3 时,( )W取得最大值,此时年总收入最大. 21已知函数 4 ( )f xxmm x . (1)当 0m时求函数 ( )f x 的最小值; (2)若函数( )5f x在1,4x上恒成立求实数 m的取值范围 . 第 6 页 共 7 页 解: ()当0m时, 444 24fxxxx xxx ,当且仅当 4 x x ,即 2x 时等号成立, 所以4 min fx ()由题意得 4 5xmm x 在1,4x上恒成立, 即 4 5xmm x 在1,4x上恒成立, 所以 4 55mxmm x 在1,4x上恒成立, 即 4 255mx x 在1,4x上恒成立, 设 4 ,1,4g xxx x ,则g x在1,2上单调递减,在2,4上单调递增, min 24g xg, 又15,45gg, 254m , 解得 9 2 m, 所以实数m的取值范围是 9 , 2 22已知函数 3211 1 323 a fxxaxxaR. ( 1)若1a,求函数fx的极值; ( 2)当01a时,判断函数fx在区间0,2上零点的个数 . 解: ( 1) 3211 1 323 a fxxaxx, 21 111fxaxaxa xx a , 因为1a,所以 1 01 a , 当 x 变化时,,fxfx的变化情况如下表: 第 7 页 共 7 页 x 1 , a 1 a 1 ,1 a 1 1, fx0 - 0 fx递增极大值递减极小值递增 由表可得当 1 x a 时,fx有极大值,且极大值为 2 2 1231 6 aa f aa , 当 1x 时,fx有极小值,且极小值为 1 11 6 fa. ( 2)由( 1)得 1 1fxa xx a 。 01a , 1 1 a . 当 11 20 2 a a ,即时,fx在0,1上单调递增,在1,2上递减 又因为 111 00,110,2210 363 ffafa 所以 fx 在( 0,1)和( 1,2)上各有一个零点, 所以0,2fx 在上有两个零点。 当 1 12 a ,即 1 1 2 a时,fx在0,1上单调递增,在 1 1, a 上递减,在 1 ,2 a 上递增, 又因为 2 211 111 00,110,0 366 aa ffaf aa 所以fx在0,1上有且只有一个零点,在1,2上没有零点, 所以在0,2上有且只有只有一个零点. 综上: 当 1 0 2 a时,fx在0,2上有两个零点; 当 1 1 2 a时,fx在0,2上有且只有一个零点。
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