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第 1页(共 9页) 2014 年全国各地高考数学试题及解答分类大全 (选修 4:几何证明选讲、坐标系与参数方程、 不等式选讲、矩阵与变换) 一、几何证明选讲: 选修 41;几何证明选讲 1. (2014 广东文) 如图 1,在平行四边形ABCD中,点 E 在AB上 且2EBAE,AC与DE交于点F,则 CDF AEF 的周长 的周长 2. (2014 广东理) 如图 3,在平行四边形ABCD中,点E在AB上 且AEEB2,AC与DE交于点F,则 的面积 的面积 AEF CDF . 来源 :Z_xx_k.Com 3(2014 湖北理) 如图 1-3,P 为 O 外一点,过P 点作 O 的 两条切线,切点分别为A,B,过 PA的中点 Q 作割线交 O 于 C,D 两点,若QC1,CD3,则 PB_ 34解析 由切线长定理得QA2 QC QD1(13)4, 解得 QA2.故 PB PA2QA4. 4.(2014湖南理) 如图 3,已知AB,BC是O的两条弦, AOBC,3AB,22BC,则O的半径等于 _. 5. (2014 江苏) 如图,AB是圆O的直径,CD是圆O上位于AB异侧的两点,证明OCBD 6. (2014 辽宁文、理) 如图,EP交圆于 E、C 两点,PD切圆 于 D,G 为 CE上一点且PGPD,连接 DG 并延长交圆于 点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为F. (1)求证: AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD ,求证: AB=ED. 【解析】 (1) 为直径所以 为切线到延长 AB FGAFDBD FDBDPDFGAPGDADPPGPDDPD , 2 BDA 2 BDA BDAAGADP BDA AG. =+ =+=+ = = (2) 第 2页(共 9页) ABED EDEGAFACE AFBACBD = = = , 2 ? EAD 2 EAG ECAGAD 所以 为直径中,在三角形 7.(2014全国新课标文、理)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的 延长线交于点E,且CBCE. (I)证明:DE; (II)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明: ABC为等边三角形 . 【解析】:.() 由题设知得A、B、C、D 四点共圆, 所以D=CBE,由已知得,CBE=E , 所以D=E 5 分 ()设BCN 中点为,连接MN, 则由 MB=MC,知 M NBC 所以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径, M 为 AD 中点, 故 OM AD , 即 MN AD ,所以 AD/BC, 故A=CBE, 又CBE=E,故A=E 由()( 1)知D=E, 所以 ADE 为等边三角形 10 分 8. (2014 全国新课标文、理)如图,P是O外一点,PA是切线,A 为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC中点,AD的延长线交O于点 E,证 明: (I)BE=EC (II) 2 2DEBADP 【答案解析】 解析: (I) 连接OA,OD交BC于F, 设PAD, 因PA是O的切线,则90 -EAOOEA 2,2PCPA PCPD PADPPDA是等腰三角形 PDAEDF (90)90EDFOEA OEBC故OE平分弧BC, 从而 BE = EC. (II) 2 ,2PC PCPADPBP 2 2PAPBPD 由(I )知PDPA 2 22PAPAPBPBPA ()(DEBD DCBD PAPDPBPAADPA 2 ()PAPB PCPAPBPCPAPAPBPB ()PCPDPB DCPB PAPB 把2PAPB代人上式,得 2 22PAPBBPPBPB 2 2DEBADP 考点:考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用. 难度中等. 9.(2014 陕西文、 理) 如图,ABC中,6BC, 以BC为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F, 若2ACAE,则EF 第 3页(共 9页) 因为6BC所以3EF故答案为3 10. (2014 天津文、理) 如图,ABC是圆的内接三角行,BAC的平分线交圆于点D,交 BC 于 E, 过点 B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F, 在上述条件下, 给出下列四个结论: BD 平分CBF; FAFDFB 2 ; DEBECEAE; BFABBDAF.则所有正确结论的序号是() A.B.C.D. 【答案】 D【解析】 31,42, 21,34, BD 平分CBF,ABFBDF, BF BD AF AB ,BDAFBFAB, DF BF BF AF , DFAFBF 2 . 11.(2014重庆理) 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PB,PC分别交圆于B, C,若6PA ,AC=8,BC=9,则 AB=_. 【答案】 4 【解析】 .4AB4AB3,PB, 8 B 6 B 9PB 6 CA B PA B PC A PCAAB= + =所以相似,与 APAPP P 二、坐标系与参数方程:选修 4-4:坐标系与参数方程 1.(2014 安徽理) 以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐 标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是 3 1 yy tx , (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 cos4则直线l被圆 C 截得的弦长为() A.14B.142C.2D.22 2.(2014 北京理)曲线 1cos 2sin x y , (为参数)的对称中心() A在直线2yx上B在直线2yx上 C在直线1yx上D在直线1yx上 【答案】B 【解析】 试题分析:参数方程 sin2 cos1 y x 所表示的曲线为圆心在)2, 1(,半径为1的圆,其对称中心为 )2, 1(,逐个代入选项可知,点)2, 1(满足xy2,故选 B. 3.(2014福建理) 已知直线l的参数方程为 ty tax 4 2 , (t为参数),圆C的参数方程为 第 4页(共 9页) sin4 cos4 y x , (为常数) . (I)求直线l和圆C的普通方程; (II )若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围 . 4. (2014 广东理) 在极坐标系中,曲线 1 C和 2 C的方程分别为 2 sincos和sin1,以极 点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 1 C和 2 C交点的直 角坐标为 _. 5. (2014 广东文) 在极坐标系中,曲线 1 C与 2 C的方程分别为 2 2cossin与cos1,以极点 为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 1 C与 2 C的交点的直 角坐标为 222 1 212 :(1,2) :2cossin2cos=sin,2, 1,(1,2). Cyx CxC C 答案 提示由得()故的直角坐标方程为: 的直角坐标方程为:交点的直角坐标为 6(2014 湖北理)已知曲线C1的参数方程是 xt, y 3t 3 (t 为参数 )以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是 2,则 C1与 C2交点的直角坐标为_ 6.( 3,1) 解析 由 xt, y 3t 3 , 消去 t 得 y 3 3 x(x0),即曲线C1的普通方程是y 3 3 x(x0); 由 2,得 24,得 x2y24,即曲线 C2 的直角坐标方程是x2y 24.联立 y 3 3 x(x0) , x2y24, 解得 x3, y1. 故曲线 C1与 C2的交点坐标为(3,1). 7.(2014湖南文) 在平面直角坐标系中,曲线 2 2 2 : 2 1 2 xt C yt (t为参数)的普通方程为 _. 【答案】10 xy 【解析】消t可得110 xyxy,故填10 xy. 8 (2014 湖南理)在平面直角坐标系中,倾斜角为 4 的直线l与曲线 2cos 1sin x C y :, (为参数) 交于A、B两点,且2AB,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的 极坐标方程是 _. 第 5页(共 9页) 9(2014 江苏)在平面直角坐标系xoy中,已知直线l的参数方程 2 1 2 2 2 2 xt yt (t为参数),直线l 与抛物线 2 4yx相交于AB两点,求线段AB的长。 10. (2014 江西理)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段 101yxx的极坐标为() A. 1 ,0 cossin2 B. 1 ,0 cossin4 C.cossin,0 2 D.cossin,0 4 【答案】 A 【解析】Q1yx01x sin1cos0cos1 1 0 sincos2 所以选 A。 11. (2014 辽宁文、理) 将圆 22 1xy上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2 倍,得曲 线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线: 220lxy与 C 的交点为 12 ,P P,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极 坐标系,求过线段 12 PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. 【答案】(1) 0,sin2,cos,=yx ( 2) 03sin4-cos 2=+ 【解析】 (1)0,sin2, cos,的参数方程:曲线=yxC (2) 03sin4-cos 2 , 23-4) 2 1 -( 2 1 1- ).1, 2 1 (),2,0(),0,1(. 2 0.1) 4 sin(2 0,2-sin2cos2)sin2,(cos =+ = =+ =+ 是所求直线的极坐标方程所以 即的中垂线方程是垂直 中点所以,或即解得 在直线上,则上的点设曲线 xyxyAB ABBA PC 12.(2014全国新课标文、理)已知曲线1 94 : 22 yx C,直线 ty tx l 22 2 :(t为参数) (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线,交l于点A,求PA的最大值与最小值. 【解析】:.() 曲线 C 的参数方程为: 2cos 3sin x y (为参数), 直线 l 的普通方程为:260 xy 5 分 () (2)在曲线C 上任意取一点P(2cos,3sin)到 l 的距离为 第 6页(共 9页) 5 4cos3sin6 5 d, 则 0 2 5 |5sin6 sin 305 d PA,其中为锐角且 4 tan 3 . 当sin1时,|PA取得最大值,最大值为 22 5 5 ; 当sin1时,|PA取得最小值,最小值为 2 5 5 . 10 分 13.(2014 全国新课标文、理)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建 立极坐标系,半圆C的极坐标方程为2cos,0, 2 . (I) 求C的参数方程 (II)设点D在C上,C在D处的切线与直线2:3lyx垂直,根据 (I) 中你得到的参数方 程,确定D的坐标. 【答案解析】解析: (I )极坐标方程为2cos,0, 2 2 2cos 对应的普通方程为: 22 0()02xyxy,即 22 (01)1()xyy 对应的参数方程为0, sin 1cos , x y (II)设半圆的圆心为A,则A(1,0),又由( I )知, 可以设 D点坐标为(1cosn),si 直线DA的斜率tank 切线与直线32yx垂直 tan 3 =3(0,) 3 ,sin 2 3 1cos 2 即D点坐标为 3 ( 3 , 22 ) 考点:本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用,难度中等题. 14.(2014 陕西文、 理) (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 点(2,) 6 到直线sin()1 6 的距离
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