热点专题二次函数综合题型 二次函数的综合探究题一直是中考的必考题。通常考查与动点、存在性、相似有关的二次函数综合题， 解答与动点有关的函数探究问题，通常需要把问题拆开，分清动点在不同位置运动，或不同时间段运动时 对应的函数关系式，进而确定函数图象这类问题往往与函数知识、特殊三角形、特殊四边形的性质，以及 分类讨论思想、方程思想、数形结合思想相联系。解题时要特别注意把握题目中的“ 动中有变 (图形的变化 )、 变中有静 (特殊三角形或四边形的性质及其数学思想) ” 的内在规律并注意挖掘隐含条件，综合运用数学知识 解决问题。此类问题的考查形式通常为解答题，解答此类问题时要注意分析问题存在的多种情况。 二次函数综合题型有以下三种常见题型: 题型一：二次函数与线段最值问题； 题型二：二次函数与图形面积问题； 题型三：二次函数与特殊三角形的存在性问题； 题型四：二次函数与特殊四边形的存在性问题。 考向 1二次函数与线段最值问题 例： （2019 ? 深圳福田区校级模拟）如图， 抛物线 215 2 22 yxx= -+与x轴相交于A，B两点， 点B在点A的 右侧，与y轴相交于点C （1）求点A，B，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PAPC+的值最小，求点P的坐标； 【解析】（1）当0 x =时，则 5 2 y =， 5 (0,) 2 C， 当0y =时， 215 20 22 xx-+=，化简，得 2 450 xx-=，解得，1x = -或5x =， (1,0)A -，(5,0)B； （2）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP Q点A和点B关于抛物线的对称轴对称，APPB=， 要使PAPC+的值最小，则应使PBPC+的值最小，BC与对称轴的交点，使得PAPC+的值最小 设BC的解析式为ykxb=+ 将(5,0)B， 5 (0,) 2 C代入ykxb=+，得 5 2 50 b kb ? ? = ? ? ? += ? ? ， 1 2 5 2 k b ? ? = - ? ? ? ? ? =? ? ? ? ， 直线BC的解析式为 15 22 yx= -+ Q抛物线的对称轴为直线 2 2 1 2 2 x = - ， 当2x =时， 153 2 222 y = - +=， 3 (2,) 2 P； 练习： 1. （2019 ?南海区模拟二） 如图， 已知： 直线2(yxm m= -+为常数），抛物线 2 23yaxax=-+的最大值为4， 抛物线的顶点为A （1）当直线经过A点时，求m的值； （2）当直线和抛物线在x轴上方的部分只有一个公共点时，求m的取值范围 （3）当直线与抛物线只有一个公共点D时，设点P是y轴上一动点，求|PAPD-的最大值，并求取得最 大值时P点的坐标 【解析】（1）抛物线 2 23yaxax=-+的最大值为4， 函数的对称轴为：1x =，此时234yaa=-+=，解得：1a = -， 故抛物线的表达式为： 2 23yxx= -+； 顶点A的坐标为：(1,4)； 将点A的坐标代入直线表达式并解得：6m =； （2）抛物线于x轴的交点坐标为：(1,0)-和(3,0)； 当直线过(1,0)-时，则02m=+，解得：2m = -； 当直线过(3,0)时，即06m= -+，解得：6m=； 当直线和抛物线只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式并整理得： 2 430 xxm-+-=， 2 (4)4(3)0m=-=，解得：7m =，此时交点坐标为：(2,3)， 当直线过(3,0)时，直线和抛物线在x轴上方的部分有两个公共点， 故26m-或67m； （3）由（ 2）知，点(2,3)D， 连接D、A交y轴于点P，则此时|PAPD-有最大值，即点P为所求点， 由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：5yx= -+， 故点(0,5)P 2. （2019?徐闻县期末）如图，点(4,0)M，以点M为圆心、 2 为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线 21 6 yxbxc=+过点A和点B，与y轴交于点C （1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象 （2）点(8,)Qm在抛物线 21 6 yxbxc=+上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB+的最小值 【解析】（1）(4,0)MQ，Me的半径为 2，4AB =，(2,0)A，(6,0)B， 将A，B的坐标代入 21 6 yxbxc=+中，得 2 20 3 660 bc bc ? ? += ? ? ? += ? ? ， 解得 4 3 2 b c ? ? = - ? ? ? = ? ? ， 2 14 2 63 yxx=-+，Q当0 x =时，2y =， (0, 2)C，抛物线的大致图象如图1； （2）Q点(8,)Qm在 214 2 63 yxx=-+图象上，2m=，(8,2)Q， 如图 2，由于点A与点B关于抛物线的对称轴4x =对称，连接AQ，交对称轴于点P，连接PB， 由两点之间线段最短可知，此时PQPB+的值最小，即PQPBAQ+=， 22 (82)22 10AQ =-+=，PQPB+的最小值为2 10 3. （2018?金平区模拟）如图，抛物线 2 yaxbxc=+与x轴相交于(3,0)A、B两点，与y轴交于点(0,3)C， 点B在x轴的负半轴上，且3OAOB= （1）求抛物线的函数关系式； （2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求ACPD的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在线段OC上是否存在一点M，使 2 2 BMCM+的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点 的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】（1）33OAOB=，则点(1,0)B -， 抛物线的表达式为： 2 (1)(3)(23)ya xxa xx=+-=-， 即33a-=，解得：1a = -， 故抛物线的表达式为： 2 23yxx= -+； （2）过点P作y轴的平行线交CA于点H， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：3yx= -+ ACPD的面积 22113 3(233)(3 ) 222 PHOAxxxxx=?创-+-=-+， 当 3 2 x =时，ACPD的面积的最大，最大值为： 27 8 ，此时点 3 ( 2 P， 15 ) 4 ； （3）过点M作MNAC，则 2 2 MNCM=， 故当B、M、N三点共线时， 2 2 BMCMBN+=最小， 直线CA的倾斜角为45，BNAC，则45NBAD=， 即 2 22 2 BNABAN=， 则点(1,2)N 4. （2019 ?信宜市二模） 如图，已知抛物线 2 (0)yaxbxc a=+1的对称轴为直线1x = -， 且抛物线经过(1,0)B， (0,3)C两点，与x轴交于点A （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，在抛物线的对称轴直线1x = -上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小， 求出点M的坐标； （3）如图 2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若45CBQD=，请求出点Q坐标 【解析】（1）点(3,0)A -， 则抛物线的表达式为： 2 (3)(1)(23)ya xxa xx=+-=+-， 即33a-=，解得：1a = -， 故抛物线的表达式为： 2 23yxx= -+?； （2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，则AC交函数对称轴于点M，则点M为所求， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：3yx=+， 当1x = -时，2y =，故点(1,2)M -； （3）如图，设直线BQ交y轴于点H，作HGBC于点G， 1 tan 3 OCBD=，45CBQD=， 则设：BGHGx=，则3CGx=， 则49110BCBGCGx=+=+=， 5 10 2 CHx=，则点 1 (0,) 2 H， 由点B、H的坐标可得，直线BQ的表达式为： 11 22 yx= -+?， 联立并解得：1x =（舍去）或 5 2 -， 故点 5 ( 2 Q -， 7 ) 4 考向 2二次函数与图形面积问题 例： （2019 ?电白县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 2 yxbxc=+的图象与x轴交于A、B两 点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴1x =，与y轴交于(0,3)C-点，点P是直线BC下方的抛物线上一 动点 （1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标 （2）连接PO、PC，并把POCD沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为 菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面 积 【解析】（1）函数的对称轴为：1 2 b x = -=，解得：2b= -， 故抛物线的表达式为： 2 23yxx=-， 令0y =，则1x = -或 3，故点A、B的坐标分别为：(1,0)-、(3,0)； （2）存在，理由： 如图 1，四边形POP C为菱形，则 13 22 yPOC= -= -， 即 23 23 2 yxx=-= -，解得： 10 1 2 x =（舍去负值），故点 10 (1 2 P+， 3 ) 2 -； （3）过点P作/ /PHy轴交BC于点P， 由点B、C的坐标得，BC的表达式为：3yx=-， 设点 2 ( ,23)P x xx-，则点( ,3)H x x-， ABPC的面积 ABCBCP SSS DD =+ 11 22 ABOCPHOB=创+创 211 433(323) 22 xxx=创+创-+ 239 6 22 xx= -+，Q 3 0 2 -，故S有最大值为 75 8 ，此时点 3 ( 2 P， 15 ) 4 - 练习： 1.（2019 ?源城区校级模拟）如图，抛物线 2 yxbxc=+与x轴交于A，B两点(A在B的左侧），与y轴交 于点(0,3)C-，对称轴为1x =，点D与C关于抛物线的对称轴对称 （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点P是抛物线上的一点，当ABPD的面积是8 时，求出点P的坐标； （3）点M为直线AD下方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，当m为何值时，ADMD的面积最大？ 并求出这个最大值 【解析】（1）Q抛物线 2 yxbxc=+的对称轴为1x =，1 2 b -=，2b- =， Q抛物线与y轴交于点(0,3)C-，3c = -，抛物线的解析式为 2 23yxx=-， 抛物线的对称轴为直线1x =， Q点D与C关于抛物线的对称轴对称，点D的坐标为(2,3)-； （2）当0y =时， 2 230 xx-=，解得， 1 1x = -， 2 3x =， 点A的坐标为(1,0)-，点B的坐标为(3,0)，3(1)4AB =-=， 设点P的坐标为( , )s t， ABPDQ的面积是8， 1 |8 2 P ABy=g， 即 1 4 |8 2 t=，4t = ， 当4t =时， 2 234ss-=， 解得， 1 122s =-， 2 122s =+，点P的坐标为(122-，4)或(12 2+，4)； 当4t = -时， 2 234ss-= -， 解得， 12 1ss=，点P的坐标为(1,4)-； 当ABPD的面积是8 时，点P的坐标为(122-，4)或(122+，4)或(1,4)-； （3）设直线AD的解析式为 1 ykxb=+， 将(1,0)A -，(2,3)D-代入 1ykxb=+，得， 1 1 0 23 kb kb - +=? ? ? += - ? ? ，解得， 1 1 1 k b = - ? ? ? = - ? ? ， 直线AD的解析式为1yx= -， 过点M作/ /MNy轴，交AD于点N， Q点M的横坐标是m，(12)m-，点M的坐标为 2 (,23)m mm-，点N的坐标为(,1)mm-， 22 1(23)2MNmmmmm= -= -+， AMDAMNDMNSSS DDD =+ 11