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2021 届高三数学(理)“大题精练” 17已知 n S为数列 n a的前 n 项和,且满足 41 33 nn Sa 1求数列 n a的通项; 2令 11 2 nn blog a ,证明: 1 2233 4111 1111 nnn n bbb bb bb bbb 18互联网时代的今天,移动互联快速发展,智能手机Smartphone技术不断成熟,价 格却不断下降,成为了生活中必不可少的工具 .中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个 群体之一 .逐渐地,越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们 的生活更便捷的同时会带来些问题,同学们为了解手机在中学生中的使用情况,对本校高二 年级 100 名同学使用手机的情况进行调查 .针对调查中获得的 “ 每天平均使用手机进行娱乐 活动的时间 ” 进行分组整理得到如图4 的饼图、(注:图中(1,i i2,7)(单位:小时)代表 分组为1,ii 的情况) 1求饼图中a 的值; 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替,试估计样本中的100 名学生每天 平均使用手机的平均时间在第几组?(只需写出结论) 3从该校随机选取一名同学,能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机 进行娱乐活动小于3.5小时的概率,若能,请算出这个概率;若不能,请说明理由 19如图,已知在四棱锥SAFCD 中,平面SCD平面 AFCD , DAF ADC90 , AD1,AF2DC4, 2SCSD ,B,E 分别为 AF,SA的中点 (1)求证:平面BDE平面 SCF (2)求二面角ASCB 的余弦值 20过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线,两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知 抛物线为 2 4xy,点 P, Q 在直线 l:1y上,过 P,Q 两点对应的切点弦分别为AB, CD 1当点 P在 l 上移动时,直线AB 是否经过某一定点,若有,请求出该定点的坐标;如果 没有,请说明理由 2当ABCD时,点 P,Q 在什么位置时,PQ取得最小值? 21已知函数 1a fxalnxaR x , (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明:当1a0 时, f(x)存在唯一的零点x0,且 x0随着 a 的增大而增大 22已知曲线E 的参数方程为 2 ( 3 xcos ysin 为参数),以直角坐标系xOy 的原点 O 为极 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1求曲线 E 的直角坐标方程; 2设点 A 是曲线 E 上任意一点,点A 和另外三点构成矩形ABCD ,其中 AB,AD 分别与 x 轴, y 轴平行,点C 的坐标为3,2,求矩形ABCD 周长的取值范围 231解不等式2x1x23; 2设 a,b,c 0且不全相等,若abc1,证明: 222 abcbcacab6 2021 届高三数学(理)“大题精练”(答案解析) 17已知 n S为数列 n a的前 n 项和,且满足 41 33 nn Sa 1求数列 n a的通项; 2令 11 2 nn blog a ,证明: 1 2233 4111 1111 nnn n bbb bb bb bbb 解: 41 1 33 nn Sa, 可得 111 41 33 aSa,解得1 1a , 2n 时, 11 4141 3333 nnnnn aSSaa, 即有 1 1 4 nn aa,故数列 n a是以 1 1a为首项,以 1 4 为公比的等比数列, 则 11 () 4 n n a ; 2证明: 2 111 22 1 ()2 2 n nn blog alogn, 1 11111 22141 nn b bnnnn , 12231 111111111 1 42231 nn bbb bb bnn 11 1 4141 n nn , 11 2 2141 n nnn bbnn , 则 122334111 1111 nnn n b bb bb bb bb b 18互联网时代的今天,移动互联快速发展,智能手机Smartphone技术不断成熟,价 格却不断下降,成为了生活中必不可少的工具 .中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个 群体之一 .逐渐地,越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们 的生活更便捷的同时会带来些问题,同学们为了解手机在中学生中的使用情况,对本校高二 年级 100 名同学使用手机的情况进行调查 .针对调查中获得的 “ 每天平均使用手机进行娱乐 活动的时间 ” 进行分组整理得到如图4 的饼图、(注:图中(1,i i2,7)(单位:小时)代表 分组为1,ii 的情况) 1 求饼图中a 的值; 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替,试估计样本中的100 名学生每天 平均使用手机的平均时间在第几组? (只需写出结论) 3从该校随机选取一名同学,能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机 进行娱乐活动小于3.5小时的概率,若能,请算出这个概率;若不能,请说明理由 解:1由饼图得:16%9%27%12% 14%3%29%a 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替,估计样本中的100 名学生每天平 均使用手机的平均时间在第4 组 3样本是从高二年级抽取的,根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机 进行娱乐活动的平均时间,不能估计全校学生情况,若抽取的同学是高二年级的学生,则 可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48,若抽到高一、 高三的 同学则不能估计 19如图,已知在四棱锥SAFCD 中,平面SCD平面 AFCD , DAF ADC90 , AD1,AF2DC4, 2SCSD ,B,E 分别为 AF,SA的中点 (1)求证:平面BDE平面 SCF (2)求二面角ASCB 的余弦值 (1)证明:DAF ADC90 , DCAF, 又 B 为 AF 的中点,四边形BFCD 是平行四边形,CFBD, BD? 平面 BDE,CF? 平面 BDE , CF平面 BDE, B,E 分别是 AF,SA的中点, SFBE, BE? 平面 BDE,SF? 平面 BDE, SF平面 BDE , 又 CFSFF,平面BDE平面 SCF (2)取 CD 的中点 O,连结 SO, SCD 是等腰三角形,O 是 CD 中点, SO CD, 又平面 SCD平面 AFCD ,平面 SCD 平面 AFCD CD, SO平面 AFCD ,取 AB 的中点 H,连结 OH, 由题设知四边形ABCD 是矩形, OHCD,SOOH, 以 O 为原点, OH 为 x 轴, OC 为 y 轴, OS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A( 1, 1,0), B(1, 1,0), C(0,1, 0), S(0,0, 1), CA ( 1, 2,0), CS (0, 1,1), CB (1, 0,0), 设平面 ASC 的法向量 m (x,y,z), 则 20 0 m CAxy m CSyz ,取 y 1,得 m (2,1,1), 设平面 BSC 的法向量 n (x,y,z), 则 0 0 n CBx n CSyz ,取 y1,得 n (0,1,1), cos 23 3 62 m n mn mn , 由图知二面角ASCB 的平面角为锐角, 二面角 ASC B的余弦值为 3 3 20过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线,两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知 抛物线为 2 4xy,点 P, Q 在直线 l: 1y上,过 P,Q 两点对应的切点弦分别为AB, CD 1当点 P在 l 上移动时,直线AB 是否经过某一定点,若有,请求出该定点的坐标;如果 没有,请说明理由 2当AB CD时,点 P,Q 在什么位置时, PQ取得最小值? 解:1设 11 ,A x y, 22 ,B xy, 0, 1 P x, 则 2 11 4xy, 2 22 4xy, 抛物线的方程可变形为 21 4 yx,则 2 x y, 直线 PA 的斜率为 0 1 | 2 PAxx x ky , 直线 PA 的方程 1 11 2 x yyxx,化简 11 2x xyy, 同理可得直线PB 的方程为 22 2x xyy, 由 0, 1 P x可得 011 x21 022 21 xy x xy , 直线 AB 的方程为 0 21x xy,则 0 1 x y是方程的解, 直线 AB 经过定点0,1 2设, 1 P P x,, 1QQ x, 由1可知 2 P AB x k, 2 Q CD x k , ABCD, 1 4 PQ ABCD x x kk ,即 4 PQ x x, P x, Q x 异号, 不妨设0 P x,则0Qx ,且 4 Q P x x , 4 4 PQPQP P PQxxxxx x ,当且仅当 2 P x,2 Q x时取等号, 即当2, 1P,2, 1Q时,PQ取得最小值4 21已知函数 1a fxalnxaR x , (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明:当1a0 时, f(x)存在唯一的零点x0,且 x0随着 a 的增大而增大 解:( 1)f(x)的定义域为(0,+); 22 1 1 axaaa f x xxx ; 当 a 0时, 2 1 0fx x ,则 f(x)在( 0,+)上单调递减; 当 a 0时, 2 1 a a x a fx x ,而 1 0 a a ; 则 f(x)在 1 0 a a ,上单调递减,在 1a a ,上单调递增; 当 1 a 0 时, f( x) 0,则 f(x)在( 0, +)上单调递减; 当 a 1 时, f(x)在 1 0 a a ,上单调递增,在 1a a ,上单调递减; 综上,当 a 1 时, f( x)在 1 0 a a ,上单调递增,在 1a a ,上单调递减; 当 1 a0 时, f (x) 0,则 f(x)在( 0,+)上单调递减; 当 a0 时, f(x)在 1 0 a a , 上单调递减,在 1a a , 上单调递增; (2)由( 1)得当 1a0 时, f(x)在( 0,+)上单调递减; f(x)至多有一个零点; 又 1a0; 1 1 a , f(1) a+10, 1 1faalna a ; 令 g(x) x1 lnx,则 11 1 x g x xx ; g(x)在( 0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增; g(x) g(1) 0,即 x1lnx0 ,当且仅当x1 时取等号; 1 10faalna a ; f(x)存在唯一得零点 0 1 1x a ,; 由 f(x0) 0,得 0 0 1 0 a alnx x ,即 0 00 11 a lnx xx ; x0( 1,+ ), 0 0 1 0lnx x ; 0 0 0 1 1 x a lnx x ,即 a 是 x0的函数; 设 1 1 x h x lnx x ,x( 1,+),则 22 1 0 1 () lnx h x xlnx x ; h(x)为( 1,+)上的增函数; a随 0 x增大而增大,反之亦成立. x0随着 a 的增大而增大 22已知曲线E 的参数方程为 2 ( 3 xcos ysin 为参数),以直角坐标系xOy 的原点 O 为极 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1求曲线 E 的直角坐标方程; 2设点 A 是曲线 E 上任意一点,点A 和另外三点构成矩形ABCD ,其中 AB,AD 分别与 x 轴, y 轴平行,点C 的坐标为3,2,求矩形ABCD 周长的取值范围 解:1曲线 E 的参数方程为 2 ( 3 xcos ysin 为参数 ), 转换为直角坐标方程为: 22 1 43 xy 2设点 A 的坐标为2,3cossin ,3,3Bsin,2,2Dcos, 所以;3232ABcoscos,2323ADsinsin, 2102 7lABADsin, 所以矩形的周长的取值范围为102 7,1027 . 231解不等式2x1x23; 2设 a,b
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