福建省莆田第六中学2020 届高三上学期期中考试试题 数学（理） 第卷（共60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知向量 1 (,sin) 2 a，(sin,1)b，若ab，则锐角为（） A30 B45 C60 D75 2. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若3 6 a，21 6 S，则 5 a等于（） A 1 B 3 C 1 D4 3. 若实数x，y满足约束条件 220 2 2 xy xy y ，则x y的最大值等于（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -4 4. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 384 18aaa，则 9 S( ) A. 36 B. 54 C. 60 D. 81 5. 等比数列 n a的首项 1 4a，前n项和为 n S，若 63 9SS，则数列 2 log n a的前 10 项和为 A. 65 B. 75 C. 90 D. 110 6. 已知 1 cos 33 x ，则 5 cos 2 3 x 的值为 ( ) A. 1 9 B. 1 9 C. 7 9 D. 7 9 7. 函数 2 3sin 1 xx fx x 在,的图象大致为（） A.B.C.D. 8. 设等比 n a的前n项和为nS，若39S，636S，则9S（） A. 144 B. 117 C.81 D. 63 9. 如图， 正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点， 若ACAMBN，则（） A2 B 8 3 C 6 5 D 8 5 10. 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别是, , ,a b c若coscosA 2 c aBb， 则tan( )AB 的最大值为 ( ) A 4 3 3 B3C 2 3 3 D 3 3 11. 在ABC中，点G为ABC的重心， 已知2 3AB，且向量GA与GB的夹角为120，则CA CB 的最小值是（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 12. 设数列 n a前n项和为nS ，且满足 12 2aa， 1 2 3 nn aS，用 x 表示不超过x的最大整数， 设 nn ba，数列 n b的前 2n项和为 2n T，则使 2 2000 n T成立的最小正整数n是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第卷（共90 分） 二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知2,1,ab a b , 的夹角为 0 602ab，_ 14已知数列 n a满足对任意的 * nN，都有120nnaa，又22a，则8S_. 15. 已知,a bR ，且41ab，则 11 (1)(1) ab 的最小值为 _ 16. 已知在ABC中，2AB，10AB，8AC，则ABC的面积是 _ 三、解答题：共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17. 数列 n a的前n项和 n S满足22 nn Sa （）求数列 n a的通项公式； （）设 1 1 nn n n SS a b，求数列 n b的前n项和 n T 18. 如图所示，在ADE中，,B C分别为,AD AE上的点，若,4,16. 3 AABAC， （ 1）求sinABC的值； （ 2）记ABC的面积为 1 S，四边形 BCED的面积为2 S，若 1 2 16 33 S S ，求BD CE的最大值 . 19. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率 3 2 ，一个长轴顶点在直线 2yx 上，若直线l与椭圆交 于P，Q两点， O为坐标原点，直线OP的斜率为 1 k，直线 OQ 的斜率为 2 k. （1）求该椭圆的方程. （2）若 12 1 4 kk，试问 OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 . 20. 数列 n a满足 121 2 2 42 nn n naaa , *Nn. (1) 求数列 n a前n项和 n T； (2)证明：对任意的 * nN且2n时， 111 (1.)22ln 23 n Tn n 2 1 . 已 知 函 数 ( )ln()f xaxbx （ a , b R （1）讨论( )f x的单调性；（ 2）若( )0f x恒成立，求(1) a eb的最大值 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数），直线l的参数方程为 5 2 5 2 5 2 5 xt yt （t为参数） (1) 求C与l的直角坐标方程； (2) 过曲线C上任意一点作 P与l垂直的直线，交l于点A，求 PA的最大值 23. 已知 12fxxx （1）已知关于x的不等式fxa有实数解，求a的取值范围； （2）求不等式 2 2fxxx的解集 答案 一、选择题 1-5 ： BAABA 6-10 ：CCBDD 11-12： BC 二、填空题 13、2 3 14 、255 15 、144 10 16、15 7 三、解答题 12 题解：令1n， 得 21 2 3 aa， 又 12 2aa ， 解得 1 2 3 a， 2 4 3 a， 又 1 2 3 nn aS， 1 2 3 nn aS， 所以 1 2(2) nn aan ，又21 2aa ，可求得 2 3 n n a， 2 21 3 n n S . 所以 01111 333 ( 1)( 1)2(31) 333 nnnnnnn nnn n CCC b， 即 011211( 1) C3C3C( 1) 3 n nnnn nnnn b，所以 2( 1)( 1) 33 nnn n b，即 22 , 3 21, 3 n n n n b n 为奇数 为偶数 ， 所以 221221 1 nnnn bbaa， 因此 2 22 2 21 3 n nn TSnn， 当5n 时， 10 67T；当6n时， 12 27242000T. 使 2 2000 n T成立的最小正整数n是 6. 故选 B. 17解：（ I ）当1n时， 11 22Sa， 解得 1 2a 2 分 由22 nn Sa， 当 n2 时， 111 2aaS nn ，3 分 1 22 nnn aaa， 即 1 2 nn aa4 分 数列 n a是等比数列，首项为2，公比为 25 分 2 n n a6 分 （II ） 1 1 2 n n a ， 12(21) 22 21 n n n S ， 2 1 22 n n S 8 分 1 1 121 1 2111 () (22)(22)2 2121 n n nnnnn nn a b S S 10 分 数列 n b的前 n项和2231 1111111 ()().() 2212121212121 nnn T 1 11 (1) 221 n 12 分 18 （ 1）在ABC中，由余弦定理可知 222 2cosBCABACAB ACA， 1 分 即 2221 4162 4 1656 2 BC 2 分 所以4 13BC 3 分 由正弦定理得 sinsin ACBC ABCA ， 4 分解得 2 39 sin 13 ABC 6 分 （2）依题意 1 1 sin16 3 2 SAB ACA 7 分 又 1 2 16 33 S S ，故 2 33 3S， 12 49 3 ADE SSS 8 分 设,BDx CEy 则 1 (4)(16)sin49 3 23 ADE Sxy，即(4)(16)196xy 9 分 故13216416xyxyxy， 10 分 即161320 xyxy，(6)(22)0 xyxy 11 分 解得6xy，故36xy。当且仅当3,12xy时等号成立，故BD CE的最大值为36. 12 分 19. 【详解】 (1) 由 3 2 c e a ，1 分 又由于 0ab ，一个长轴顶点在直线2yx上，可得： 2a ， 3c ， 1b . 3 分 故此椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. 4 分 （2）设 11 ,P x y， 22 ,Q xy，当直线 PQ的斜率存在时，设其方程为ykxm ， 联立椭圆的方程得： 222 418440kxkmxm，5 分 由 2222 644 41440k mkm ，可得 22 41mk， 则 12 2 8 41 km xx k ， 2 122 44 41 m xx k ，6 分 22 2 12 2 4 41 1 41 km PQxxk k ，7 分 又点O到直线 ykxm 的距离 2 1 m d k ，8 分 22 2 141 2 241 OPQ km SdPQm k ，9 分 由于 2 1212 12 1212 1 4 y yxxm kk x xx x ，10 分 可得： 22 421km， 故 22 2 211 21 2 OPQ mm Sm m ，11 分 当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1 OPQ S，12 分 故 OPQ的面积为定值 1. 12 分 20. 解：当1n时， 1 431a1 分 当2n时， 121 2 2.4 2 nn n aana 121 2 1 2.(1)4 2 n n n aana2 分 两式相减得： 121 21 4(4) 222 nnnn nnn na4 分 所以 1 1 2 n n a ，又1 1a符合此式， 综上： 1 1 ( ) 2 n n a5 分 所以数列 n a为等比数列，首项为1，公比为 1 2 ，所以 1 1 1 1 2 2( ) 1 2 1 2 n n n T 6 分 （2）由（ 1）可知 02 n T ，所以 111111 (1.)2(1.) 2323 n T nn 8 分 故只需证明 111 1.1ln 23 n n 下面先证明对任意的 * nN且2n都有 1 ln 1 n nn 9 分 记 1 ( )ln1f xx x （1x） ，则 22 111 ( )0 x fx xxx 所以 ( )f x 在 (1,) 上是增函数，又(1)0f，故( )0f x10 分 当 * nN 且 2n 时，1 1 n n ，所以 1 ()ln10 11 1 nn f n nn n ，即 1 ln 1 n nn 所以 12 ln 21 ， 13 ln 32 ，., 1 ln 1 n nn 11 分 累加的 111 1.1ln 23 n n 原式得证。12 分 21. 22. 【详解】（ 1）曲线C的参数方程，消去得其直角坐标方程为： 22 1 49 xy 3分 直线l的参数方程，消去t得其直角坐标方程为： 260 xy 5 分 （2）设曲线C上任意一点2cos3sinP, 6 分 点P到直线l的距离 5sin64cos3sin6 55 d，其中 0, 2 ，且 4 tan 3 8 分 由题意知： 5sin6 5 PAd 9 分 当sin 1时， max 1111 5 5 5 PA 10 分 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、参数方程问题中的最值问题的求解；解决本题中的最值问题的关 键是能够利用参数方程，将问题转化为三角函数的问题来进行求解，属于常考题型. 23.1因为不等式fxa有实数解，所以 min fxa 1 分 因为12123fxxxxx，所以 min 3fx 4 分 故 3a 。 5 分 21,2 23, 12 21,1 xx fxx xx 6 分 当2x时， 2 212xxx，所以2323x ，故2