专题8立体几何,第1节 空间几何体的三视图、表面积和体积 第2节 空间直线、平面平行与垂直的判定及其性质 第3节 空间中的计算问题,1,目录,600分基础 考点 平行四边形的对边平行; 面面平行的性质.,考法2 线面平行的判定与性质,57,证明直线与平面平行的常用方法,考法2 线面平行的判定与性质,58,证明直线与平面平行的常用方法,3.利用空间向量证明线面平行 （1）证明直线的方向向量与平面的某一个法向量垂直； (2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 【注意】向量法证明问题时，要注意直线不在目标平面内.,考法2 线面平行的判定与性质,59,60,1.证明平面与平面平行的常用方法,2.空间平行关系之间的转化,考法3 面面平行的判定与性质,61,1.证明平面与平面平行的常用方法,2.空间平行关系之间的转化,这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三种平行关系的转化可结合下图记忆,考法3 面面平行的判定与性质,62,63,600分基础 考点&考法,考法4 线面垂直的判定与性质,考点47 线面、面面垂直的判定与性质,考法5 面面垂直的判定与性质,64,1.直线与平面垂直的判定与性质,2.两个平面垂直,考点47 线面、面面垂直的判定与性质,1.直线与平面垂直的判定与性质,2.两个平面垂直,(2)两个平面垂直的判定和性质,(1)定义：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.,考点47 线面、面面垂直的判定与性质,（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面内相交”这一条件. （2）性质： 应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线面垂直的主要方法； （客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.,1.证明直线与平面垂直的方法,2.线面垂直的性质与线线垂直,考法4 线面垂直的判定与性质,67,（3）利用空间向量（常用方法）： 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或者利用线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直(利用空间向量证明线线垂直问题，证明两直线所在的方向向量互相垂直或数量积为0). （4）（客观题常用）若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面. （5）（客观题常用）若两相交平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.,1.证明直线与平面垂直的方法,2.线面垂直的性质与线线垂直,考法4 线面垂直的判定与性质,68,1.证明直线与平面垂直的方法,2.线面垂直的性质与线线垂直,证明相交直线垂直常用的方法： 等腰三角三线合一， 矩形的内角、直径所对的圆周角为90, 菱形的对角线互相垂直， 两条直线的方向向量的数量积为0， 直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)或直角梯形的性质等. 证明异面直线垂直，往往先证线面垂直，再由线面垂直的性质得到. 已知线面垂直,则直线与平面内任一直线垂直的性质又为证明线线垂直提供了依据.,注意重视两个平面垂直的性质定理.注意题中隐含的垂直关系.,证明方法：通过计算. 根据已知的垂直关系.,核心：线线垂直,考法4 线面垂直的判定与性质,69,70,（1）（不常用）利用面面垂直的定义. （3）（客观题常用）若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也垂直于第三个平面. (4)（常用方法）利用空间向量：证明两个平面的法向量垂直，或者利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.,1.证明面面垂直的思路,2.空间垂直关系之间的转化,一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.,（2）（常用方法）可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.,考法5 面面垂直的判定与性质,71,1.证明面面垂直的思路,2.空间垂直关系之间的转化,考法5 面面垂直的判定与性质,72,73,73,700分综合 考点&考法,综合问题14有关平行、垂直的开放性问题,综合点1 与平行、垂直有关的开放性问题,74,1.条件追溯型,2.存在探索型,3.方法类比探索型,特征：知道结论,求条件,解题策略：先假设结论成立,然后以该结论作为一个已知条件,再结合题目的其他已知条件,逆推（即从后往前推）,一步一步推出所要求的条件.,注意推理的可逆性，不要认为所有的条件都是充要条件.,综合点1 与平行、垂直有关的开放性问题,75,1.条件追溯型,2.存在探索型,3.方法类比探索型,特征：要判断某一对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立，,解题策略： 假定存在，然后进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论. 假设存在，设出参数，将已知条件合理转化并求解.若能求出符合要求的参数的值，则存在所求的点或线；否则不存在.,“存在”就是有，证明有或者举出一例； “不存在”就是没有，常用反证法加以论证. “是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由.这类问题常用“肯定顺推”.,综合点1 与平行、垂直有关的开放性问题,76,1.条件追溯型,2.存在探索型,3.方法类比探索型,特征：知道一个命题,要求类比得出与之类似的一个命题,解题策略： 从命题的结构形式及特征入手,再进行证明说理.可运用已知信息,通过延伸和推广,对某些真命题进行深化和拓展,从而得出新的命题.,综合点1 与平行、垂直有关的开放性问题,77,78,79,目录,600分基础 考点&考法,700分综合 考点&考法,综合问题15与空间计算有关的开放性问题,考点48 求空间角,第3节空间中的计算问题,考点49 求空间距离,80,600分基础 考点&考法,考法2求线面所成的角,考点48 求空间角,考法1异面直线所成的角,考法3求二面角,81,1.异面直线所成的角,2.直线与平面所成的角,3.二面角,考点48 求空间角,1.异面直线所成的角,2.直线与平面所成的角,3.二面角,规定：若直线垂直于平面,则它们所成的角是直角； 若直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0的角；当直线与平面斜交时,它们所成的角是锐角.,考点48 求空间角,1.异面直线所成的角,2.直线与平面所成的角,3.二面角,考点48 求空间角,1.平移法,2.向量法,通过作图(如结合中位线、平行四边形等)来构造平行线，作出异面直线所成的角，通过解三角形来求解 简记为：作(找)角证明求值取舍,考法1异面直线所成的角,85,1.平移法,2.向量法,考法1异面直线所成的角,86,87,A,1.几何法,2.向量法,作出直线与平面所成的平面角，再通过解三角形求解 具体步骤为： (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足的位置； (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； (3)将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形)，通过解三角形(可能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值 【说明】立体几何中的垂足常是特殊点，如图形的中心、垂心、重心、中点等,考法2求线面所成的角,88,1.几何法,2.向量法,考法2求线面所成的角,89,90,1.几何法,2.向量法,考法3求二面角,91,1.几何法,2.向量法,考法3求二面角,92,93,600分基础 考点&考法,考点49 求空间距离,考法4求空间距离,94,（1）两点间的距离连接两点的线段的长度 （2）点到直线的距离从直线外一点向直线引垂直相交的直线,点到垂足之间线段的长度 （3）点到平面的距离从平面外一点向平面引垂线,点到垂足间线段的长度连接平面外一点与平面内任一点的线段中,垂线段最短 （4）平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线,该点到垂足间线段的长度 （5）异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度 （6）直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行,从直线上任意一点向平面引垂线,该点到垂足间线段的长度，转化为点到平面的距离 （7）两平行平面间的距离两个平面的公垂线段的长度,空间的距离,考点49 求空间距离,1.几何法,2.向量法,直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等的性质定理与判定定理,作出表示所求的空间距离的垂线段,再通过解三角形求出距离. 其中,找垂足是确定垂线段的关键,一般可借助线面垂直的判定定理作面的垂线.因此,要善于挖掘条件中的线线垂直,用以作平面的垂线段. 间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解.,考法4求空间距离,96,1.几何法,2.向量法,考法4求空间距离,97,1.几何法,2.向量法,考法4求空间距离,98,1.几何法,2.向量法,考法4求空间距离,99,100,101,101,101,700分综合 考点&考法,综合问题15与空间计算有关的开放性问题,综合点1 与立体几何的计算有关的开放性问题,102,是否存在某定点或某条棱长度为多少时,满足线面角或二面角成某一角度（如成直二面角,所成二面角为60等）； 是否存在某定点,满足某些距离相等（如某一点到其他几点的距离都相等）； 已知某个参数（如某个角）,求线面角或二面角的取值范围.,1.常考形式,2.解题思想,3.具体解法,综合点1 与立体几何的计算有关的开放性问题,103,1.常考形式,2.解题思想,先假设存在该定点,满足该结论；然后以该结论作为一个新的条件,结合题目已知的条件,一步一步逆推，并充分利用角度或空间距离的求解方法,列等式（通常含有一个未知数）,求解未知数.若有解,即可得到定点的位置,并说明存在满足题意的定点；若无解,则假设不成立,不存在满足题意的定点.若设出未知量，顺推求解，看是否能够解出满足题意的参数的值.,3.具体解法,综合点1 与立体几何的计算有关的开放性问题,104,1.常考形式,2.解题思想,3.具体解法,方法1几何法 作出线面角、二面角、点面距、线面距、异面直线间的距离等,然后根据解三角形的知识列等式求解.其中,作角或距离的关键是“认定”这一步,即证明所作的角或垂线段就是所求的角（异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角等）或空间距离（点面距、线面距、异面直线间的距离）.,方法2向量法 利用前面归纳的计算公式列等式求解.应用此法要注意所求角的范围与两向量夹角间的关系,同时要注意学会观察图形来确定所求角的范围（通常指锐角或钝角）,以此来确定求出的正弦值（余弦值、正切值）的正负号,同时可以检验所求的结果是否正确.,综合点1 与立体几何的计算有关的开放性问题,105,106,106,106,107,