第二章函数、导数及其应用 第一节函数及其表示,【知识梳理】 1.函数与映射的概念,非空数集,非空集合,任意,唯一确定,任意,唯一确定,2.函数的三要素 函数由_、_和_三个要素构成,对 函数y=f(x),xA,其中 定义域:自变量x的取值范围; 值域:函数值的集合_.,定义域,对应法则,值域,f(x)|xA,3.函数的表示法 表示函数的常用方法有:_、_、_. 4.分段函数 若函数在定义域的不同子集上,因_不同而分别 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.,解析法,列表法,图象法,对应关系,【特别提醒】 1.判断同一函数的依据 (1)两个函数的定义域相同. (2)对应关系相同.,2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.,3.判断函数图象的常用结论 与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)= 的 定义域为() A.0,2)B.(2,+) C.0,2)(2,+)D.(-,2)(2,+),【解析】选C.由题意得 解得x0且x2.,2.(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是(),【解析】选D.由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.,感悟考题 试一试 3.(2017石门模拟)设集合M=x|0 x2,N=y|0 y2,从M到N有四种对应如图所示:,其中能表示为M到N的函数关系的有() A.B.C.D. 【解析】选B.中定义域为0,1,不符合题意;中对应关系为一对二,不符合题意,正确.,4.(2016全国卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是() A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y= 【解题提示】对数lgx中x为正数,函数y=10lgx不是最简形式,需化简,化简后再比较.,【解析】选D.y=10lgx=x,其定义域与值域均为(0,+). 函数y=x的定义域和值域都是R;函数y=lgx的定义域为 (0,+),值域为R;函数y=2x的定义域为R,值域为 (0,+);函数y= 的定义域与值域均为(0,+).,5.(2016江苏高考)函数y= 的定义域是_. 【解析】由3-2x-x20得x2+2x-30,即(x-1)(x+ 3)0,解得-3x1. 答案:-3,1,考点一求函数的定义域 【典例1】(1)函数f(x)= 的定义 域为() A.(2,3)B.(2,4 C.(2,3)(3,4D.(-1,3)(3,6,(2)若函数f(x2-1)的定义域为0,3,则函数f(x)的定义域为_.,【解题导引】(1)根据根式、分式的意义及对数函数的性质构建不等关系求解. (2)根据复合函数的定义域求法求解.,【规范解答】(1)选C.由函数y=f(x)的表达式可知,函 数的定义域应满足条件:16-x20, 解得 -4x4,x3或2x3,即函数f(x)的定义域为(2,3) (3,4.,(2)因为0 x3,所以-1x2-18,所以f(x)的定义域为-1,8. 答案:-1,8,【规律方法】 函数定义域的求解策略 (1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.,(3)抽象函数: 若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出; 若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.,易错提醒:1.不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化. 2.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接.,【变式训练】1.(2017长沙模拟)函数 的定义域为() A.x|x0B.x|x1 C.x|x1或x0D.x|0x1,【解析】选B.要使函数有意义,应满足 所以 故x1.,2.已知函数y=f(x+1)的定义域是-2,3,则y=f(2x-1)的定义域是() A.-3,7B.-1,4 C.-5,5D.,【解析】选D.由x-2,3得x+1-1,4, 由2x-1-1,4,解得,【加固训练】 1.函数 的定义域为() A.(1,+)B.(1,2) C.(-,2)D.(1,2 【解析】选B.由log0.5(x-1)0,得0x-11, 所以1x2,所以定义域为(1,2).,2.设函数f(x)= 的定义域为M,函数g(x)=ln(1+x) 的定义域为N,则() A.MN=(-1,1B.MN=R C. =1,+)D. =(-,-1),【解析】选C.由题意可知1-x0,解得x0,解得x-1,所以N=(-1,+), 所以MN=(-1,1),A,B错; =1,+),C正确; =(-,-1,D错.,3.函数f(x)= 的定义域为_. 【解析】要使函数f(x)有意义,必须使 解得 所以函数f(x)的定义域为 答案:,考点二求函数的解析式 【典例2】(1)已知 则f(x)=_. (2)函数f(x)满足方程2f(x)+ =2x,xR且x0.则 f(x)=_.,【解题导引】(1)利用换元法,即设 求解. (2)利用解方程组法,将x换成 求解.,【规范解答】(1)设t= +1, 则x=(t-1)2(t1),代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故f(x)=x2-1(x1). 答案:x2-1(x1),【一题多解】因为 所以 即f(x)=x2-1(x1). 答案:x2-1(x1),(2)因为2f(x)+ =2x, 将x换成 ,则 换成x, 得 +f(x)= 由消去 得3f(x)=,所以f(x)= (xR且x0). 答案: (xR且x0),【母题变式】 1.若本例题(2)条件变为2f(x)+f(-x)=2x,求f(x). 【解析】因为2f(x)+f(-x)=2x, 将x换成-x得2f(-x)+f(x)=-2x, 由消去f(-x),得3f(x)=6x, 所以f(x)=2x.,2.若本例题(2)条件变为f(x)是一次函数,且2f(x)+ f(x+1)=2x,求f(x). 【解析】因为f(x)是一次函数, 所以设f(x)=kx+b(k0), 由2f(x)+f(x+1)=2x得, 2(kx+b)+k(x+1)+b=2x,即3kx+k+3b=2x, 因此 解得 所以f(x)=,【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数定义域扩大而致误.,【规律方法】 求函数解析式常用的四种方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.,(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.,(4)解方程组法:已知关于f(x)与 或f(-x)的解析式, 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通 过解方程组求出f(x).,【变式训练】已知 =lgx,则f(x)=_. 【解析】令 得 代入得f(t)= 又因为x0,所以t1, 故f(x)的解析式是f(x)= 答案:,【加固训练】 1.已知 则f(x)=_. 【解析】因为 且 2或 -2, 所以f(x)=x2-2(x2或x-2). 答案:x2-2(x2或x-2),2.已知函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)= 则f(x)=_. 【解析】在f(x)= 中,用 代替x, 得 将 代入f(x)= ,可求得f(x)= 答案:,考点三分段函数的应用 【考情快递】,【考题例析】 命题角度1:分段函数的求值问题 【典例3】(2017武威模拟)已知f(x)= 则 的值为() A. B.2C.- D.-1,【解题导引】根据自变量的取值范围确定对应的函数解析式,然后代入求值. 【规范解答】选B.,命题角度2:分段函数的方程、不等式问题 【典例4】(2017襄阳模拟)已知函数f(x)= 若f(a)=5,则a的取值集合为() A.-2,3,5B.-2,3 C.-2,5D.3,5,【解题导引】根据a0,a0,选择合适解析式的方程计算f(a)=5,求出a的值.,【规范解答】选C.方法一:由f(a)=5, 解得a=5或a=-2. 方法二:因为f(-2)=(-2)2-(-2)-1=5, f(3)=3+log22=4,f(5)=3+log24=5,排除A,B,D.,【典例5】已知f(x)= 则不等式x+2xf(x+1) 5的解集为() A.(1,+) B.(-,-5)(1,+) C.(-,-5)(0,+) D.(-5,1),【解题导引】对x+1进行分类讨论,分x+11和x+11两种情况讨论.,【规范解答】选B.当x0时,f(x+1)=2, 原不等式为x+2x25,解得x1. 当x0时,f(x+1)=-1, 原不等式为x-2x5,解得x-5, 综上x(-,-5)(1,+).,【技法感悟】 1.分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值.,(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 2.分段函数的方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.,【题组通关】 1.设函数f(x)= 若 则b=(),【解析】选D.当 即 时, 得 当 即 时,解得 舍去.故 注:本题也可以将 逐一代入验算.,2.(2015全国卷)已知函数f(x)= 且f(a)=-3,则f(6-a)=(),【解析】选A.若a1, 则2a-1-2=-3, 整理得2a-1=-1, 由于2x0, 所以2a-1=-1无解,若a1,则-log2(a+1)=-3, 解得a=7, 所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=,3.(2017成都模拟)设函数f(x)= 则使 得f(x)1的自变量x的取值范围为() A.(-,-20,10 B.(-,-20,1 C.(-,-21,10 D.-2,01,10,【解析】选A.由f(x)1, 得 解得x-2或0 x1或1x10, 即x-2或0 x10.,4.若函数 的值域为R,则f(2 )的 取值范围是(),【解析】选B.因为当x2时,f(x)-1, 所以要使函数f(x)的值域为R, 则需满足 即- loga20. 又f(2 )=,所以,【加固训练】 1.(2017郑州模拟)已知函数f(x)= 若 f(-a)+f(a)0,则实数a的取值范围是() A.-1,1B.-2,0 C.0,2D.-2,2,【解析】选D.依题意可知 或 解得a-2,2.,2.(2017唐山模拟)设函数f(x)= 若f(x0) 1,则x0的取值范围是_.,【解析】依题意得 或 解得03. 答案:(0,2)(3,+),易错误区3 分段函数的求解 【典例】(2017天津模拟)设函数f(x)= 则满足f(x)2的x的取值范围是() A. B. C.0,+)D.(1,+),【规范解答】选C.由条件得: