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第4节直线、平面平行的判定与性质,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.若直线a与平面内无数条直线平行是否有a? 提示:不一定,有可能a. 2.如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面,那么两个平面一定平行吗? 提示:不一定,如果这无数条直线都平行,则这两个平面可能相交,此时这无数条直线都平行于交线. 3.直线与直线平行有传递性,那么平面与平面的平行有传递性吗? 提示:有,即三个不重合的平面,若,则.,知识梳理,1.直线与平面平行的判定定理和性质定理,此,平面内的,交线,2.平面与平面平行的判定定理和性质定理,相交直,线,平行,【拓展提升】 1.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 2.垂直于同一条直线的两个平面平行. 3.夹在两个平行平面间的平行线段相等.,对点自测,1.下列说法中正确的是( ) 一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行; 一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点; 过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行; 如果直线l和平面平行,那么过平面内一点和直线l平行的直线在内. (A)(B) (C) (D),D,解析:由线面平行的性质定理知正确;由直线与平面平行的定义知正确;错误,因为经过一点可作一直线与已知直线平行,而经过这条直线可作无数个平面.,2.(2015安徽卷)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) (A)若,垂直于同一平面,则与平行 (B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行 (C)若,不平行,则在内不存在与平行的直线 (D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面,解析:若,垂直于同一个平面,则,可以都过的同一条垂线,即,可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若,不平行,则,相交,设=l,在内存在直线a,使al,则a,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知mn,故D正确.,D,3.下列命题中,错误的是( ) (A)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 (B)平行于同一平面的两个不同平面平行 (C)如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平 面 (D)若直线l不平行平面,则在平面内不存在与l平行的直线,解析:A中,如果已知直线与另一个平面不相交,则有两种情形:在平面内或与平面平行,不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,故A正确;B是两个平面平行的一种判定定理,B正确;C中,如果平面内有一条直线垂直于平面,则平面垂直于平面(这是面面垂直的判定定理),故C正确;D是错误的,事实上,直线l不平行平面,可能有l,则内有无数条直线与l平行.,D,4.(2016全国卷),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: 如果mn,m,n,那么. 如果m,n,那么mn. 如果,m,那么m. 如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号),解析:可能有m,即,得错,正确. 答案:,5.如图所示,在四面体ABCD中,M,N分别是ACD,BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是.,答案:平面ABC、平面ABD,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,与平行相关命题的判定,【例1】 导学号 18702363 已知直线l,m,其中只有m在平面内,则“l”是“lm”的() (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件,解析:若l,则l与内的直线平行或异面;若lm,l不在平面内,则l,所以“l”是“lm”的必要不充分条件.故选B.,反思归纳 在解决平行关系基本问题时 (1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的条件中线在面外易被忽视. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确.,【即时训练】 已知直线a与直线b平行,直线a与平面平行,则直线b与的关系为() (A)平行 (B)相交 (C)直线b在平面内(D)平行或直线b在平面内,解析:依题意,直线a必与平面内的某直线平行,又ab,因此直线b与平面的位置关系是平行或直线b在平面内.故选D.,考点二,直线与平面平行的判定与性质,考查角度1:证明直线与平面平行 【例2】 (2016安徽池州模拟)如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1的中点. (1)证明:AD1平面BDC1;,证明:(1)因为D1,D分别为A1C1与AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边形, 所以C1D1 DA, 所以四边形ADC1D1为平行四边形, 所以AD1C1D, 又AD1平面BDC1,C1D平面BDC1, 所以AD1平面BDC1.,证明: (2)连接D1D, 因为BB1平面ACC1A1,BB1平面BB1D1D,平面ACC1A1平面 BB1D1D=D1D, 所以BB1D1D, 又D1,D分别为A1C1与AC的中点, 所以BB1=DD1, 故四边形BDD1B1为平行四边形, 所以BDB1D1, 又BD平面AB1D1,B1D1平面AB1D1, 所以BD平面AB1D1.,(2)证明:BD平面AB1D1.,证明直线与平面平行常用的方法有 (1)定义法:一般用反证法; (2)判定定理法:关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程; (3)性质判定法:即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.,反思归纳,(1)证明:因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH, 所以GHBC. 同理可证EFBC. 因此GHEF.,考查角度2:直线与平面平行的性质定理的应用 【例3】 (2014安徽卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2 .点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH. (1)证明:GHEF;,(2)解:连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK. 因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC, 同理可得POBD. 又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD. 又因为平面GEFH平面ABCD, 且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH. 因为平面PBD平面GEFH=GK, 所以POGK,且GK底面ABCD, 从而GKEF. 所以GK是梯形GEFH的高.,(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.,反思归纳 (1)线面平行性质定理的应用 转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行. (2)证明线线平行的常用方法 利用公理4:找第三线,只需证明两线都与第三线平行即可. 利用三角形的中位线的性质. 构建平行四边形利用其对边平行.,考点三,平面与平面平行的判定与性质,【例4】 导学号 18702364 (2016河北衡水模拟)如图所示的几何体ABCDFE中,ABC,DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC. (1)求几何体ABCDFE的体积;,(2)证明:平面ADE平面BCF.,(2)证明:由(1)知AOFG,AO=FG, 所以四边形AOFG为平行四边形, 所以AGOF. 又因为DEBC,DEAG=G,DE平面ADE,AG平面ADE,FOBC=O,FO平面BCF,BC平面BCF, 所以平面ADE平面BCF.,判定平面与平面平行的方法 (1)利用定义; (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用面面平行的判定定理的推论; (4)面面平行的传递性(,); (5)利用线面垂直的性质(l,l).,反思归纳,【即时训练】 导学号 18702365 如图,几何体ABCD-B1C1D1中,四边形ABCD为菱形,BAD=60,AB=a,平面B1C1D1平面ABCD,BB1,CC1,DD1都垂直于平面ABCD,且BB1= a,E为CC1的中点. (1)求证:DB1E为等腰直角三角形;,(2)求证:AC平面DB1E.,备选例题,【例1】 如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,BAC= ACD=90,EAC=60,AB=AC=AE. (1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP平面EAB?请证明你的结论;,(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.,【例2】 (2016南通阶段测试)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);,解:(1)点F,G,H的位置如图所示.,(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.,解:(2)平面BEG平面ACH, 证明如下: 因为ABCD-EFGH为正方体, 所以BCFG,BC=FG, 又FGEH,FG=EH, 所以BCEH,BC=EH, 于是四边形BCHE为平行四边形, 所以BECH. 又CH平面ACH,BE平面ACH, 所以BE平面ACH.同理BG平面ACH. 又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.,线、面平行中的探索性问题,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,【典例】(12分) (2014四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形. (1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1; (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.,审题指导,满分展示: (1)证明:因为四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都是矩形, 所以AA1AB,AA1AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线, 所以AA1平面ABC.2分 因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.3分 又由已知,ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交的直线, 所以BC平面ACC1A1.6分,答题模板:解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步:写出探求的最后结论. 第二步:证明探求结论的正确性. 第三步:给出明确答案. 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.,点击进入 应用能力提升,
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