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考点一正弦、余弦定理 1.(2014课标,4,5分,0.472)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=() A.5B.C.2D.1,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案BSABC=ABBCsin B=1sin B=, sin B=,B=45或135,若B=45,则由余弦定理得AC=1,ABC为直角三角形,不符合题 意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21=5,AC=.故 选B.,思路分析利用已知条件及三角形的面积公式求出B,再利用余弦定理求解.,易错警示忽视ABC为钝角三角形这一条件,而导致错误.,2.(2016课标全国,8,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=() A.B.C.-D.-,答案C解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC= BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC= - ,故选C. 解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在RtADC中,AC=BC, sinDAC=,cosDAC=,又因为B=,所以cosBAC=cos=cosDACcos -sinDACsin=-=-,故选C.,解法三:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,而 =(+)(+)=+=BC2-BC2=-BC2,所以cos BAC=-,故选C. 解法四:过A作ADBC,垂足为D,设BC=3a(a0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以=(-a,-a),= (2a,-a),所以|=a,|=a,所以cosBAC=-,故选C.,解后反思解三角形问题一般利用正弦、余弦定理求解,有时也可根据具体条件,利用向量法或解析法求解.,3.(2015课标,16,5分,0.043)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.,答案(-,+),解析依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定理得=.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得 =.所以=,即y= . 因为075,+75=180,所以30105, 当=90时,易得y=; 当90时,y=,又tan 30=,tan 105=tan(60+45)=-2-,结合正切函数的性质知, (-2,),且0,所以y=(-,)(,+). 综上所述:y(-,+).,思路分析连接BD,把四边形问题转化为解三角形问题,令BD=x,AB=y,利用正弦定理建立函数关系求解.,疑难突破把四边形问题转化为解三角形问题是关键,利用正弦定理建立函数关系求解是难点也是突破点.,4.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.,解析本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用. (1)由题设得acsin B=,即csin B=. 由正弦定理得sin Csin B=. 故sin Bsin C=. (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-. 所以B+C=,故A=. 由题设得bcsin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故ABC的周长为3+.,方法总结解三角形的综合应用. (1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将csin B=变形为sin Csin B=. (2)三角形面积公式:S=absin C=acsin B=bcsin A. (3)三角形的内角和为. 这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.,5.(2014大纲全国,17,10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.,解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因为tan A=,所以cos C=2sin C, tan C=. 所以tan B=tan180-(A+C) =-tan(A+C) = =-1, 即B=135.,6.(2015课标,17,12分,0.419)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.,解析(1)SABD=ABADsinBAD, SADC=ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得=. (2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=. 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,7.(2013课标全国,17,12分,0.463)如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一 点,BPC=90. (1)若PB=,求PA; (2)若APB=150,求tanPBA.,解析(1)由已知得,PBC=60,所以PBA=30. 在PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2cos 30=.故PA=. (2)设PBA=,由已知得PB=sin . 在PBA中,由正弦定理得=, 化简得cos =4sin . 所以tan =,即tanPBA=.,思路分析(1)在PBA中,利用余弦定理求解. (2)利用正弦定理建立PBA的三角函数关系求解.,解题关键本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把PBC和PAB联系起来利用正弦定理求解是解题关键.,考点二解三角形及其综合应用 1.(2014课标,16,5分,0.465)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)= (c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.,答案,解析因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,又0A,故A =.因为cos A=,所以bc4,当且仅当b=c时取等号.由三角形面积公式知SABC=bcsin A=bc=bc,故ABC面积的最大值为.,思路分析利用正弦定理,把已知等式中的“角”统一到“边”,实现“边角统一”,最后利用余弦定理及三角形的面积公式求解.,2.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用. (1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac. 又SABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4. 所以b=2.,解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.,3.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a= 2 ,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,解析本题考查解三角形. (1)由已知可得tan A=-,所以A=. 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0. 解得c=-6(舍去),或c=4. (2)由题设可得CAD=, 所以BAD=BAC-CAD=. 故ABD面积与ACD面积的比值为=1. 又ABC的面积为42sinBAC=2, 所以ABD的面积为.,思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦 定理求c.(2)由题意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由SABC=42sinBAC=2 得解.,一题多解(2)另解一:由余弦定理得cos C=,在RtACD中,cos C=,CD=,AD=, DB=CD=,SABD=SACD=2sin C=. 另解二:BAD=,由余弦定理得cos C=,CD=, AD=,SABD=4sinDAB=. 另解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE =CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sinCAB= .,4.(2013课标全国,17,12分,0.516)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求ABC面积的最大值.,解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=-(B+C), 故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由,和C(0,)得sin B=cos B. 又B(0,),所以B=. (2)ABC的面积S=acsin B=ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos. 又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立. 因此ABC面积的最大值为+1.,思路分析(1)利用正弦定理把已知条件中的“边”化为“角”,结合三角形内角之间的关系求B. (2)利用余弦定理和基本不等式求解.,解题关键利用正弦、余弦定理进行边角转化是求解的关键;掌握求最值的基本方法是正确求解的前提.,5.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.,解析(1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分) 所以ABC的周长为5+.(12分),思路分析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.,解后反思本题属于解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解
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