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高三年级理科数学试卷共 10 页 第 1页 2019-2020 学年度第二学期高三年级第一次月考 高三年级理科数学试卷 (考试时间:120 分钟总分: 150 分) 第 I 卷(选择题共60 分) 一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,共 60分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 2 20 ,1,0,1AxR xxB,则 AB( C) A-1,0,1B1,0C0,1D0 2.已知复数z 满足: (2 i)z 1i,其中 i 是虚数单位,则z 的共轭复数为(D) A. 1 5 3 5 iB. 1 3 iC. 1 3 iD. 1 5 3 5 i 3.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 S54, S1010,则 S15(D) A.16B. 25C.20D.19 4.点1,1M到抛物线 2 2yax准线的距离为2,则 a 的值为(C) A. 1B. 1或3C. 1 8 或 1 24 D. 1 4 或 1 12 5.如图所示的程序框图,若输出的结果为4,则输入的实数x的取值范围是 (A ) A. 18 , 27 9 B. 81 , 9 27 C. 1 2, 9 【解析】 1n,12x,否,31xx;2n,否,313 194xxx; 3n,否,94312713xxx;4n,12x,是,即271312x; 解不等式271x, 1 27 x,且满足9412x, 8 9 x, 综上所述,若输出的结果为4,则输入的实数 x的取值范围是 18 27 9 , 6.在 ABC中,角 A, B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 2abc,则cosC的最小值为( B) 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 2页 A. 1 2 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 7.已知两点2,0A,2,0B以及圆 C: 22 2 43xyr (0r) ,若圆 C 上存在点P,满足 0PA PB ,则 r 的取值范围是(B) A.3,6B. 3,7 C. 4,7 D.4,6 【详解】由于圆C 上存在点 P,满足 0PA PB ,故以AB为直径的圆O与圆C有公共点 .圆O的圆心 为0,0, 半 径 为 2. 圆 C 的 圆 心 为4,3, 半 径 为r所 以22rOCr, 而 2 2 435OC ,所以252rr,解得37r. 8.给出下列说法:设0 x,yR,则“ xy”是“xy”的充分不必要条件;若 1 1 fxx x ,则 00,x,使得01fx;n a为等比数列,则“ 123 aaa”是 “ 45 aa”的充分不必要条件;命题“xR , x N ,使得 2 nx ”的否定形式是“xR , nN ,使得 2 nx ” .其中正确说法的个数为(B) A. 0B. 1C. 2D. 3 【详解】对于,当“xy”时,如12,结论12错误,“xy”不是“xy”的充分条 件 ,故 错 误.对 于 , 当0 x时 , 11 112111 11 fxxx xx , 当且 仅当 1 1,0 1 xx x 时 等 号 成 立 , 所 以1fx, 故 错 误.对 于 , 在 等 比 数 列 n a中 , 当 “ 123 aaa”时,所以等比数列 n a是单调递增数列,所以“ 45 aa” . 当“ 45 aa”时,如 1, 2,4,8,16, ,不能推出“123 aaa” . 所以正确. 对于,命题“ xR , x N ,使得 2 nx ”的否定形式是“x R , nN ,使得 2 nx ”,故错误 . 综上所述, 正确说法个数为1个. 9.已知某几何体是两个正四棱锥的组合体,其三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为(A) A.8B. 4 C.22D. 2 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学(理)试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 3页 10.不等式组 10 20 0 x xy y 表示的点集记为 A,不等式组 2 10 20 x xy yx 表示的点集记为 B,在A中任取 一点 P,则PB的概率为(C) A. 4 9 B. 2 3 C. 20 27 D. 7 16 【详解】 点集A表示的图像为如图所示三角形ABC,点集 B 表示的图像为如 图所示阴影部分.由于三角形ABC的面积为 19 33 22 ,阴影部分的面积为 1 2 1 2xx dx 23 1 1 2| 23 xx x 71310 663 .所以所求的概 率为 9 20 2 10 27 3 . 11.椭圆 22 22 :1 x a C y b 0ab的左右焦点为F1,F2,过 F2作 x 轴的垂线与 C 交于 A,B 两点, F1A 与 y 轴相交于点 D,若 BDF1A,则椭圆 C 的离心率等于(D) A 1 3 B 3 C 1 2 D 3 3 【解析】 由题意可得, 2 ( ,) b A c a , 2 ( ,) b B c a , 则点D为 1F A的中点, 2 (0,) 2 b D a ,由1BDF A,得 1 1 BDF A kk,即 222 2 1 2 bbb aaa cc ,整 理得 2 32bac, 22 3()2acac, 2 3+230ee ,解得 3 3 e 12.已知函数3( )logf xx的图象与函数 ( )g x 的图象关于直线 yx对称,函数 ( )h x是最小正 周期为 2 的偶函数,且当0,1x时,( )( )1h xg x,若函数( )( )ykf xh x有 3 个零点, 则实数 k的取值范围是(B) A7 1,2log3 B5 2,2log3 C5 2log3, 1 D7 1 log 3, 2 解析】 由函数 3 ( )logf xx的图象与函数 ( )g x 的图象关于直线 yx对称,得 ( )3x g x, 函数( )h x是最小正周期为 2 的偶函数,当0,1x时,( )( )131 x h xg x, 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学(理)试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 4页 函数( )( )ykf xh x有 3 个零点,即 3 log( )kxh x 有 3 个不同根, 画出函数 3 logyk x与 ( )yh x的图象如图: 要使函数 3 logyk x与 ( )yh x的图象有 3 个交点, 则0k,且 3 3 log 32 log 52 k k ,即 5 22log 3k , 实数 k的取值范围是 5 2,2log3,故选 B 第卷(非选择题共 90分) 二、填空题:本大题共4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横线上. 13.已知定义在 R上的奇函数 fx 满足当0 x时, 3 lnfxx x ,则曲线 yfx 在点 1,1f处的切线斜率为 _ 【答案】 4 14.如果 1 3 n x x 的展开式中各项系数之和为128,则展开式中 4 1 x 的系数是 _ . 【答案】 -189 15.已知 ABC中,3AC ,4BC, 2 C , 点P为ABC外接圆上任意一点, 则CP ABAC 的最大值为 _ .【答案】 18 16.在数列na中, 1 1 3 a, 1 13 3 nnn aaa ,Nn,且 1 3 n n b a .记 12nn Pbbb, 12nn Sbbb,则 1 3 n nn PS_.【答案】 3 【详解】由于 1 13 3 nnn aaa , 1 3 n n b a , 所以 1 3 n n n a b a , 12nn Pbbb 3121 23411 33333 n n nn aaaaa aaaaa ,. 又 1 1311 33 nnnnn aaaaa , 1 11 n nn b aa , 所以 12nn Sbbb 12231 111111 nn aaaaaa 1 1 3 n a .所以 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学(理)试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 5页 1 3 n nn PS 1 1 11 1 333 3 n n nn a aa . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12 分)在锐角三角形 ABC中,角 ,A B C所对的边分别为, ,a b c, 已知 . (1)求角C的大小;(2)求 22 coscosAB 的取值范围 试题解析:(1)因为sinsinsinsinacACbAB,由正弦定理得 acacb ab,即 222 abcab,则 222 1 22 abc ab 根据余弦定理得 1 cos 2 C 又因为0C,所以 3 C5 分 (2)因为 3 C,所以 4 22 3 BA 则 221cos21cos21 coscos1cos2cos2 222 AB ABAB 14 1cos2cos2 23 AA 113 1cos2sin2 222 AA 1 1cos 2 23 A 8 分 因为三角形 ABC为锐角三角形且 3 C ,所以 62 A 则 24 2 333 A 所以 1 1cos 2 62 A , 所以 2213 coscos 24 AB 即 22 coscosAB 的取值范围为 13 24 ,。12 分 18.如图,在矩形 ABCD中,点E为边AD上的点,点F 为边CD的中点, 2 3 ABAEAD,现将 ABE 沿 BE 边折至 PBE位置,且平面PBE 平面BCDE. (1) 求证:平面平面; (2) 求二面角的大小 . 试题解析: (1) 证明 :由题可知:折前 ()(sinsin)(sinsin)acACbAB 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学(理)试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 6页 , 。 6分 (2)不妨设3AD,以D为原点,以DC方向为 x轴,以 ED方向为 y轴,以与平面EBCD向上的 法向量同方向为z轴,建立空间直角坐标系 .7 分 则 设平面PEF和平面PCF的法向量分别为 , 由 1 0nFP 及可得到即,不妨取 又由 2 0nFP 及可得到即 不妨取 9 分 .11 分 综上所述,二面角大小为.12 分. 19.某土特产超市为预估2020 年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019 年元旦期间的90 位游客购买 情况进行统计,得到如下人数分布表。 (1)根据以上数据完成22 列联表,并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60 元与性别有关。 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学(理)试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 7页 (2)为吸引游客。该超市推出一种优惠方案。购买金额 不少于 60 元可抽奖3 次。每次中奖概率为p(每次抽奖 互不影响,且p 的值等于人数分布表中购买金额不少 于 60 元的频率 ),中奖 1 次减 5 元,中奖 2次减 10 元, 中奖 3 次减 15 元。若游客甲计划购买80 元的土特产,请列出实际付款数X( 元)的分布列并求其数学期 望。附:参考公式和数据: 2 2() ()()()() n adbc K abcdac bd ,nabcd。 附表: 20.已知椭圆 : 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为26,短轴长为22。 (1)求的方程; (2)直线 l1:ykxm(k 0)与相切于点M ,l1与两坐标轴的交点为A 与 B,直线 l2经过点 M 且与 l1 垂直, l2与的另一个交点为 N。当 AB 取得最小值时,求ABN 的面积。 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学(理)试卷参考答案 高三年级理科数学试卷
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