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第2课时 等比数列的性质,【知识提炼】 1.等比数列的项与序号的关系,qn-m,aman=apaq,2.等比数列的单调性,递增,递减,递减,递增,常,【即时小测】 1.判断 (1)知道等比数列的某一项和公比,可以计算等比数列的任意一项.() (2)若an为等比数列,且m+n=p(m,n,pN*),则aman=ap.(),(3)若等比数列an的公比q1,则数列an是递增数列.(),【解析】(1)正确.根据等比数列中任意两项关系,即an=amqn-m(n,mN*)可知该说法正确. (2)错误.例如等比数列1,2,4,8,中,a1a2a3. (3)错误.在等比数列an中,若q1,数列an并不一定是递增数列,如等比数列-1,-2,-4,公比q=21,但此数列是递减数列. 答案:(1)(2)(3),2.等比数列an中,a5=3,q= ,则a3=() 【解析】选D.因为数列an是等比数列,所以a5=a3q2, 所以3=a3 ,所以a3=12.,3.若数列an为等比数列,则下列式子一定成立的 是() A.a2+a5=a1+a6B.a1a9=a10 C.a1a9=a3a7D.a1a2a7=a4a6 【解析】选C.以等比数列32n为例进行检验,可知 A,B,D均不成立.对于C,因为a1a9=a12q8,a3a7=a12q8, 所以a1a9=a3a7.,4.已知摆动数列an是等比数列,且a2=1,a4=16,则公比q为_. 【解析】由题意得q2= =16, 所以q=4,又因为数列an是摆动数列, 所以q=-4. 答案:-4,5.在等比数列an中,a10+a11= ,a11+a12=2,则公比 q=_. 【解析】因为a11+a12=(a10+a11)q,所以q= 答案:,【知识探究】 知识点1 等比数列通项公式的推广 观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:等比数列通项公式的推广形式是如何得出的? 问题2:等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什么?,【总结提升】 1.等比数列通项公式推广形式的证明 设等比数列an的公比为q,则 an=a1qn-1,am=a1qm-1,m,nN*,两式相除得 所以an=amqn-m.,2.等比数列通项公式的推广形式的作用 (1)求等比数列的公比. (2)在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m,可求出等比数列的任何一项.,知识点2 等比数列的性质 观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:等比数列an中,若m+n=s+t,则aman=asat,该结论是如何证明的? 问题2:已知数列an是等比数列,还有哪些与该数列有关的等比数列呢?,【总结提升】 1.等比数列中四项关系的性质及证明 若等比数列an中,m,n,s,tN*且m+n=s+t, 则aman=asat.,证明:设等比数列an的公比为q, aman= a1qm-1a1qn-1=a12qm+n-2, asat= a1qs-1a1qt-1=a12qs+t-2, 因为m+n=s+t,所以aman=asat.,2.等比数列的“子数列”的性质 数列an是公比为q的无穷等比数列. (1)去掉数列an的前m项后余下的项仍组成公比为q的等比数列. (2)奇数项数列a2n-1是公比为q2的等比数列;偶数项数列a2n是公比为q2的等比数列.,(3)在数列an中每隔k(kN*)项取出一项,按原来顺序组成新数列,则新数列仍为等比数列且公比为qk+1.,【题型探究】 类型一 等比数列通项公式的推广和应用 【典例】1.(2015全国卷)等比数列an满足a1=3, a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=() A.21B.42C.63D.84 2.已知等比数列an为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)= 5an+1,则数列的通项公式an=_.,【解题探究】1.典例1中,解题的基本思路是什么? 提示:利用条件a1=3,a1+a3+a5=21求出公比,再利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2求值. 2.典例2中,an+2,an+1与an有什么关系? 提示:an+2=anq2,an+1=anq.,【解析】1.选B.设等比数列的公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21,又因为a1=3, 所以q4+q2-6=0,解得q2=2, a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.,2.设等比数列的公比为q. 因为a52=a10,所以(a1q4)2=a1q9,所以a1=q, 所以an=qn.因为2(an+an+2)=5an+1, 所以2an(1+q2)=5anq, 所以2(1+q2)=5q,解得q=2或q= (舍去), 所以an=2n. 答案:2n,【方法技巧】等比数列推广的通项公式的应用技巧 (1)由等比数列的任意两项可求出数列的公比,即由an =amqn-m可得qn-m= ,进一步计算公比. (2)由等比数列的任意一项和公比可以求出该等比数列 的通项公式. (3)等比数列推广的通项公式可揭示等比数列中两个相 同项数的和之间的关系,如a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3.,【变式训练】已知数列an为等比数列,且a1a9=64,a3+a7=20,求a11. 【解析】因为数列an为等比数列, 所以a1a9=a3a7=64,又因为a3+a7=20, 所以a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.,所以a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20, 所以1+q4=5,所以q4=4. 当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20, 所以1+q4= ,所以q4= . 所以a11=a1q10=a3q8=64或1.,【补偿训练】 1.在等比数列an中,a2 012=8a2 009,则公比q的值 为() A.2B.3C.4D.8 【解析】选A.因为 =q3=8,所以q=2.,2.在等比数列an中,存在正整数m,有am=3,am+5=24, 则am+15=_. 【解析】因为 =q5=8,又因为 =q10=(q5)2=82. 所以am+15=amq10=2482=1 536. 答案:1 536,类型二 等比数列性质的应用 【典例】在等比数列an中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求数列an的通项公式.,【解题探究】本例中,哪个条件可以用等比数列的性质进行转化?如何转化? 提示:条件a4a7=-512可利用“若m+n=k+l,则aman=akal”转化为a3a8=-512.,【解析】由a4a7=-512,知a3a8=-512. 解方程组 得 因为q为整数,所以q= =-2, 所以an=a3qn-3=-4(-2)n-3=(-1)n-22n-1.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例中条件“a4a7=-512,a3+a8=124, 且公比为整数”改为“a7a11=6,a4+a14=5”,则结果 又如何?,【解析】因为数列an是等比数列, 所以a4a14=a7a11=6.解方程组 得 所以 所以an=a4qn-4=2,2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件改为a4+a7=2,a5a6=-8,求a1+a10.,【解析】因为数列an为等比数列,所以a5a6=a4a7=-8. 联立 可解得 当 时,q3=- ,故a1+a10= +a7q3=-7; 当 时,q3=-2,同理,有a1+a10=-7.,【方法技巧】巧用等比数列的性质解题 (1)解答等比数列问题的基本方法基本量法 基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解; 优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.,(2)利用等比数列的性质解题 基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题; 优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.,【补偿训练】若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,求lna1+lna2+lna20. 【解析】方法一:各项均为正数的等比数列an中,a10a11=a9a12=a1a20, 则a1a20=e5, lna1+lna2+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.,方法二:各项均为正数的等比数列an中,a10a11=a9a12=a1a20, 则a1a20=e5, 设lna1+lna2+lna20=S, 则lna20+lna19+lna1=S, 2S=20ln(a1a20)=100,S=50.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为“a3a9=2a52,a2=2”,其他条件不变,结果又如何?,【解析】因为数列an是等比数列,所以a3a9=a62,又因 为a3a9=2a52,所以2a52=a62,又因为an0,所以 a5=a6, 所以公比q= 又因为a2=2, 所以an= 所以lna1+lna2+lna20 =ln(a1a2a20)=,2.(变换条件、改变问法)将本题条件“a10a11+a9a12 =2e5”改为“a3a8=9”,其他条件不变,求log3a1+ log3a10的值. 【解析】log3a1+log3a10 =log3(a1a10)=log3(a3a8)=log39=2.,类型三 等差、等比数列的综合问题 【典例】1.(2015襄阳高一检测)等比数列an中, a1=512,公比q=- ,记Tn=a1a2an,则Tn取最大 值时n的值为() A.8B.9C.9或10D.11,2.(2015湖州高一检测)已知数列an满足:a1=2,an+1=an2-kan+k(kR),a1,a2,a3分别是公差不为零的等差数列bn的前三项. (1)求k的值. (2)求证:对任意的nN*,bn,b2n,b4n不可能成等比数列.,【解题探究】1.典例1中,Tn符号的变化规律是什么?如何将|Tn|表示为关于n的函数? 提示:从第1项开始Tn的符号变化规律成正、负、负、正周期变化.利用等比数列的通项公式、指数运算的法则和等差数列求和公式,可将|Tn|表示为关于n的函数.,2.典例2第(1)问中a1,a2,a3满足什么关系?如何用k 表示a2,a3?第(2)问中若bn,b2n,b4n能成等比数列, 则可推出什么结果? 提示:第(1)问中2a2=a1+a3,根据a1=2,a2=a12-ka1+k, a3=a22-ka2+k,可用k表示a2,a3.第(2)问中若bn,b2n, b4n能成等比数列,则可推b2n2=bnb4n.,【解析】1.选B.an=a1qn-1=512 =(-1)n-12921-n=(-1)n-1210-n. 所以|Tn|=|a1a2an| =29+8+10-n= 所以当n=9或10时,|Tn|最大. 又因为T100,所以T9最大.,2.(1)因为a1=2,所以a2=4-k,a3=2k2-11k+16. 又因为2a2=a1+a3,所以2k2-9k+10=0,解得k=2或 , 又因为bn的公差不为零,所以k= .,(2)由(1)知,bn= 假如bn,b2n,b4n成等比数列,则bnb4n=b2n2. 代入化简得:(5-n)(5-4n)=(5-2n)2,解得n=0. 与nN*矛盾,故bn,b2n,b4n不可能成等比数列.,【延伸探究】在典例1的条件下,试分析T2016的符号. 【解析】由于等比数列an中a10,q=- 0.,【方法技巧】解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用. (2)对于解答题注意基本量及方程思想.,(3)注重问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题. (4)当题中出现多个数列时,既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系,又要横向考查各数列之间的内在联系.,【变式训练】已知在等差数列an与等比数列bn中,公差与公比均为d(d
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