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3.2.2 复数代数形式的乘除运算,已知两复数z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,dR),(a+bi)(c+di) =_.,1.加法、减法的运算法则,2.加法运算律:,对任意z1,z2,z3C,z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),交换律:,结合律:,(ac)+(bd)i,已知两复数z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,dR),3.复数加、减的几何意义,设OZ1, OZ2分别与复数z1=a+bi,z2=c+di对应.,复平面中点 Z1与点Z2间的距离,|z1-z2|表示:_ _.,已知两复数z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,dR),4.复数模的几何意义:,特别地,|z|表示:_.,复平面中点Z与原点间的距 离,如:|z+(1+2i)|表示:_ _.,点(-1,-2)的距离,点Z(对应复数z)到,掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则. (重点) 2.对复数除法法则的运用.(难点) 3.乘法的运算法则与运算律. 4.共轭复数的定义是什么.,探究点1 复数乘法运算 我们规定,复数乘法法则如下: 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数,那么它们的乘积为: (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i. 即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 注意:两个复数的积是一个确定的复数.,探究点2 复数乘法的运算律,复数的乘法是否满足交换律,结合律以及乘法对加法的分配律? 请验证乘法是否满足交换律?,对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i 所以 z1z2=z2z1,(交换律),乘法运算律,对任意z1 ,z2 ,z3 C,有 z1z2=z2z1 (交换律) (z1z2)z3= z1(z2z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律),例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).,解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i.,分析:类似两个多项式相乘,把i2换成-1,例2 计算:(1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2.,解: (1)(3+4i)(3-4i) =32-(4i)2 =9-(-16) =25.,(2)(1+i)2 =1+2i+i2 =1+2i-1 =2i.,【总结提升】 (1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立; (2)复数的混合运算也是先乘方,再乘除,最后加减,有括号应先处理括号里面的,探究点3 共轭复数的定义,一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 实数的共轭复数是它本身.,思考:若z1,z2是共轭复数,那么 ()在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? () z1z2是一个怎样的数?,记法:复数z=a+bi 的共轭复数记作,=a-bi,解:作图,得出结论:在复平面内,共轭复数z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.,令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-b2i2 =a2+b2 结论:任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.,探究点4 共轭复数的相关运算性质,探究点5 复数除法的法则 类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.,复数除法的法则是:,方法:在进行复数除法运算时,通常先把,在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.,先写成分式形式,然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数,结果化简成代数形式,B,2. 若复数z=1+i (i为虚数单位) 是z的共轭复数 , 则 + 的虚部为( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. -2,3. ( ) A B. C. D.,B,A,5.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值.,注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.,1.复数相乘类似于多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成1,并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 实数的共轭复数是它本身. 4.复数代数形式的除法实质:分母实数化.,
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