名师课件 经典收藏,课程名称 高等数学,*进入百度空间 下载全套课件*,第二节 偏 导 数,偏导数的定义及其计算法,偏导数的几何意义,高阶偏导数,higher-order partial derivative,一、一阶偏导数的定义,定义,存在,内有定义，,若极限,则称此极限为函数,记为,对x的偏导数,为,对y的偏导数,记为,那么这个偏导数,仍是,的二元函数,它称为函数,如果函数,对自变量x的偏导函数,(简称偏导数),记作,或,同理,可定义函数,对自变量y的,偏导函数,(简称偏导数),记作,或,在区域D内任一点,(x, y)处对x的偏导数都存在,求多元函数的偏导数,例 求 在点(1,0)处的两个偏导数.,解,利用一元函数,只需将y,的求导法对x求导即可.,看作常量,并不需要新的方法,例 求 的偏导数.,解,解,例,处的偏导数.,但此函数在点(0,0)是不连续的.,由以上计算可知,在点,处可偏导,二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的 ( ).,A. 充分条件而非必要条件,B. 必要条件而非充分条件,C. 充分必要条件,D. 既非充分条件又非必要条件,D,例,解,有,按定义得,证,例,二、偏导数的几何意义,思考,曲线,在点(2,4,5)处的切线,与x轴正向所成的倾角是多少?,解,在点(2,4,5)处的切线,与y轴正向所成的倾角是多少?,思考,曲线,混合偏导,定义,三、高阶偏导数,高阶偏导数.,二阶及二阶以上的偏导数统称为,例,的四个二阶偏导数.,解,例,解,有,按定义得,多元函数的高阶混合偏导数如果连,一般地,续就与求导次序无关.,如果函数,的两个二阶混合偏,在区域D内,定理,连续，,那么在,导数,该区域内,但就通常所遇到的函数,在前一题中两个混合二阶偏导数相等,此种情,后一题中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏,导数的次序有关.,但在,况不会发生,这是因为有下述的定理:,