1,内容回顾,n 阶泰勒公式,当,时为n 阶麦克劳林公式 .,2,常用函数的麦克劳林公式,3,解,4,解法2,5,三次多项式,6,练习,7,四、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.,可解问题的类型:,1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;,2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.,8,已知,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,9,例2. 用近似公式,计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时, 由给定的近似公式计算的结果,能准确到 0.005 .,10,2. 利用泰勒公式求极限,解,11,3. 利用泰勒公式证明不等式,例4. 证明,证:,12,两边同乘 n !,= 整数 +,假设 e 为有理数,( p , q 为正整数) ,则当 时,等式左边为整数;,矛盾 !,例5 证明 e 为无理数 .,证:,故 e 为无理数 .,等式右边不可能为整数.,13,解,14,例7,解,利用麦克劳林公式,15,泰勒公式的应用,(2) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(1) 利用多项式逼近函数 ,常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ),16,第三章 微分中值定理与导数的应用,第四节 函数的单调性与曲线 的凹凸性,17,函数的单调性,18,19,一、单调性的判别法,定理,说明:1.该定理的条件是充分条件而非必要条件,定理,20,21,观察下面的图形, 你能得出什么结论？,综上所述, 可知:,22,(1) 确定函数定义域;,判断函数单调性的方法,总结:,23,例1,解,24,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,25,例2,解,单调增区间为,单调减区间为,26,例3,解,单调增区间为,单调减区间为,27,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此,且,证,例4,28,* 证明,令,则,从而,即,29,例5,证,利用单调性判别方程根的情况,30,31,利用单调性判别方程根的情况的一般步骤:,第一步,第二步,第三步,32,例6,证,33,观察以下曲线,各曲线有什么不同?,.,.,三、曲线的凹凸性,弯曲方向不同,34,曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,35,36,37,定义,38,例9,39,有什么想法？,40,