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3.5.2简单线性规划,1:画出不等式(组)表示的平面区域: y2x+1 4x-3y9 x+2y4,说明:直线定界、特殊点定域 划分区域时,找好特殊点,注意不等号。,y=2x+1,x+2y=4,3x+5y25,x-4y-3,x1,问题:有无最大(小)值?,x,y,o,问题:2+有无最大(小)值?,引例,设z = 2x + y,式中变量x、 y满足下列条件 求z的最大值和最小值,分析:不等式组表示的区域是图中的ABC,z = 2x + y,l2,l1,求最值的方法1. 截距法,在经过不等式组表示的公共区域内的点且平行于l0的直线中,以经 过点A(5,2)的直线 l2 所对应的截距最大故 zmax= 2 5 + 2 = 12, 以经过点B(1,1)的直线l1所对应的z最小故 zmin = 2 1 + 1= 3,思考: 2x + y -z= 0(z R)可看作什么? 一组平行直线,都与直线l0:2x + y = 0平行.,求最值的方法2. 距离法,作一组与直线l0平行的直线(或平行移动直线l0)l:2x + y = z,z R,求最值的方法2. 距离法,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中,以经过点A(5,2)的直线l2所对应的d最大,,l2,求最值的方法2. 距离法,以经过点B(1,1)的直线l1所对应的d最小所以:zmax = 2 5 + 2 = 12,zmin = 2 1 + 1= 3,l2,l1,求最值的方法2. 距离法,在上述问题中,不等式组是一组对变量x、y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件z = 2x + y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,我们把它称为目标函数由于z = 2x + y又是关于x、y的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数,线性规划的有关概念:,线性规划的概念:,问题:设z=2x+y,式中变量满足下列条件: 求z的最大值与最小值。,目标函数 (线性目标函数),线性约 束条件,注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题例如: 我们刚才研究的就是求线性目标函数z = 2x + y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题,线性规划的有关概念:,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解,线性规划的有关概念:,解线性规划问题的基本步骤: 第一步在平面直角坐标系中画出可行域. 第二步:平移直线 在可行域内找出最优解所对应的点(找使纵截距取得最值时的点). 第三步:解方程组,从而求出目标函数的最大值或最小值,简记为: 画.移.求,例1已知x、y满足 , 试求z = 300 x + 900y的最大值,典型例题:,分析:先画出平面区域,然后在平面区域内寻找使z = 300 x + 900y取最大值时的点,例1已知x、y满足 , 试求z = 300 x + 900y的最大值,典型例题:,解:作出可行域,见图中四边形AOBC表示的平面区域,典型例题:,作出直线l0:300 x + 900y = 0,即x + 3y = 0, 将它平移至点A, 显然,点A的坐标是可 行域中的最优解,它使 z = 300 x + 900y达到最大值 易得点A(0,125),所以 z max = 3000 + 900125 = 112500,l0:x + 3y = 0,2x + y = 300,典型例题:,变题1:在例1中,若目标函数设为z = 400 x + 300y,约束条件不变,则z的最大值在点C处取得,l0:4x + 3y = 0,2x + y = 300,变题2:若目标函数设为z = 300 x + 600y,约束条件不变,则z的最大值?,可在线段AC上任一点处取得,事实上,可行域内最优解对应的点在何处,与目标函数z = ax + by(a 0,b 0)所确定的直线l0:ax + by = 0的斜率( )有关 就本例而言,若 = (直线x + 2y = 250的斜率),则线段AC上所有点都使z取得最大值(如:z = 300 x + 600y时);,当 0时,点A处使z取得最大值(比如:例1);当 2 时,点C处使z取得最大值(比如:z = 400 x + 300y时), 其它情况请同学们课外思考,例2:设z2xy,式中变量x、y满足下列条件 求的最大值和最小值。,解:作出可行域如图:,当0时,设直线 l0:2xy0,当l0经过可行域上点A时, z 最小,即最大。,当l0经过可行域上点C时, 最大,即最小。, zmax2528 zmin214.4 2.4,(5,2),(1,4.4),平移l0,,平移l0 ,,2xy0,三个转化,图解法,想一想(结论):,线性约束条件,可行域,线性目标函数 Z=Ax+By,最优解,寻找平行线组的 最大(小)纵截距,求最值的方法: 1,距离法; 2,截距法.,1 (2012年高考(辽宁文理)设变量x,y满足 则2x+3y的最大值为() A20B35C45D55,1. 【答案】D 【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D,D,2 (2012年高考(天津文)设变量满足约束条件 则目标函数的最小值 () A-5B-4C-2D3,【解析】做出不等式对应的 可行域如图,由图象可 知当直线经过点 时,直线的 截距最大,而此时最小为,选B.,B,3(2012年高考(浙江文)设z=x+2y, 其中实数x,y满足, 则z的取值范围是 _.,【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的四边形, 但目标函数过点(0,0)时,目标函数最小,当目标函数过点 时最大值为 .,0 , ,1. 求z = 600 x + 300y的最大值,使式 中的x,y满足约束条件 ,附加练习,分析:画出约束条件表示的平面区域即可行域再解,2x + y = 0,z max = 60070 + 30090 = 69000,2. 已知x、y满足不等式组 求z = 3x + y的最小值,附加练习,分析:可先找出可行域,平行移动直线l0:3x + y = 0,找出可行解,进而求出目标函数的最小值.,z min = 1,l0:3x + y = 0,3满足线性约束条件 的可行域内共有_个整数点,4,4设z = x y,式中变量x,y满足 求z的最大值和最小值,z max = 1, z min = 3,附加练习:,(1) 求z = 2x + y的最大值,使式中的x、y 满足约束条件,附加练习5,小结,z max = 3,(2) 求z = 3x + 5y的最大值和最小值,使x、y满足约束条件,小结,z max = 14, z min = 11.,1. 阅读教材P9094的内容 2.教材P94习题第1题 (作业本上),作业,
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