,二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,一、二面角的定义,二面角,2、二面角的表示方法,二面角AB ,二面角 l ,二面角CAB D,二面角CAB E,1、定义,二面角,二、二面角的平面角,1、定义,二面角的平面角必须满足：,二面角的平面角的范围: 0180,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,注意:,(与顶点位置无关),APB= A1P1B1,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM 于C，,在 内作ODAB交PN于D，,连结CD，可得：,设PO = a ，BPM =BPN = 45,CO=a，DO=a， PC a ， PD a,又MPN=60,CD=PC a,COD=90,因此，二面角的度数为90,二面角,例1.如图,已知P是二面角 棱上一点，过 P 分别在、内引射线PM、PN，且MPN=600， BPM =BPN =450，求此二面角的度数。,COD是二面角 的平面角,一“作” 二“证” 三“计算”,A,B,C,D,例2. A为二面角CD 的棱CD上一点，AB在平面内且与棱CD成45角，又AB与平面 成30，求二面角CD 的大小。,二面角,C,O,二面角,例3、在60二面角-l-内有一点P，PA 于A点，PB 于B点，PA=3，PB=5，求P到棱l的距离。,变式：如果二面角-l-的平面角是锐角，点P到 、和棱l的距离分别为 4和 ，求二面角的大小。,2、作二面角的平面角的常用方法,、点P在棱上,、点P在一个半平面上,、点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线(逆)定理法,垂面法,二面角,二面角,例4、已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD把ABD折起使点A在平面BCD上的射影E恰好落在BC上，求二面角A-BD-C的大小。,二面角,5、已知在一个60的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于AB的线段，又知AB=4，AC=6，BD=8，求CD的长。,二面角,6、已知RtABC，C=90， B=30 ，AB=4，若沿斜边上的中线将ACD折起，使得点A到点B的距离是 ，求所折二面角的大小。,二面角,7、如图，PA平面ABC，AC BC，PA=AC=1，BC= ，求二面角A-PB-C的大小。,二面角,8、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。,二面角,9、在底面是直角梯形的五面体S-ABCD中，ABC=90，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ， 求平面SCD与平面SAB所成二面角的大小。,二面角,从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。,二 面 角 AB 二 面 角 CAB D 二 面 角 l ,1、二面角的平面角必须满足 三个条件 2、二面角的平面角的大小与 其顶点在棱上的位置无关 3、二面角的大小用它的平面 角的大小来度量,1、定义法 2、三垂线（逆）定理法 3、垂面法,1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算所求的角,一“作”二“证”三“计算”,