第四节三大抽样分布及常用统计量的分布数理统计中常用的分布除正态分布外,还有三个非常有用的连续型分布,即2分布1分布5分布数理统计的三大分布(都是连续型).它们都与正态分布有密奶的联系.仁在本章中特别要求学揍对正忘分布、个2分布、丫厂布、F分布的一些结论的熟绵返用,忆们是后面各章的基础.分(卡方)一一分布定义1:设总体X-N(0,1),CK,Xoo元】是X的一个样本,则统计量古=X2+3+.+X的概率密度函数为!兀彗叶缪鬓X万0二02T兮了D=12(Z)0X三0歪中(=I0椰xme“rdxGt0)为F函数。则称统计量z2-xa+X3+.+X3服从自由度为n的x2分市记作z2-x()注:自由度是指独立随机变量的个数,中=nX“0m分布窥度函数的图形其图形随自由度的不同而有所改变.性质1:%2分布的数学期望与方差设X2一X2(z),则E(X2)=z,刀(X2)=2.性质2:X2分布的可加性设&0zD,租节z且杨种相互独立,则。祝十视-X十10)c02lim气兔一一心这个性质说明当:很大时,自于正态分布V(m2n2性质3,设x“一X“(m,则对任意实魏有学生-志e度冲的x“分布近似定理1设(,发,.,友,)为取自正态总体系一N(L,C2)(xP的样本,则菩一X200)证明由已知,有“于一N(L,a2)目Xl,卫,相互独立,刑又一L#心一仁,相互独立,定理3:设(Cl,z,卫)为来自正态总体五一N(L,a2)的样本,则U样本均值X与样本万差S2柑互独立,e命0万G(4.10)式的岛由度为什么是17-12从表面上看,(X一支)z是个正态随机变量x一支的平方机但实际上它们李梅独立的,它们之间有一种线性约束关系:义t,-网=义-咸-0这表阮,当逢个儿个正态随机姬量中有71个取值给定时,剩下的一个的取值就跟着唯一确定了,故在这7项平方和中只有7一1项是独立的.所以(4.10)式的自由度是邓一工.z-D(4.D)定理3:,设(,驰,.,友)为来自正态总体X一N(L,a2)的样本,则(D样本均值友与样本方差52相互独立;ZYx-刀-U52_吉,(2)=一一X(一(4.0)z。zz()与以下补充性质的结论比较:性质设(C,立,.,左)为取自正态总体Su-Na的样札,则5z一-X7Co)2分布的a上侧分位点定义2:,设x2x200,对于给定的正数x(O0ex50Dj7fCOdr-=a的点x200为z200)分布的z上侧分位点。)君几何意义见图5-5所示.其thfCr)是x2-分布的概率密度,csX20D)一显然,在自由度R取定以后,X2(2)的值只与Q有关.例如,当=21,Q=0.05时,由附表3(Pos4)可查得,NeosCQD=32.67即PX“(2032.67=0.05.