1.5.1 曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,内容：,应用,求曲边梯形的面积四个步骤,“以直代曲”和“无限逼近”思想,本课主要学习曲边梯形面积的求法及“以直代曲”和“无限逼近”思想。以金门大桥的图片引入新课。给出了曲边梯形的定义，体会割圆术的基本思想。通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤: 分割近似代替求和取极限。在求曲边梯形面积的过程中，通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。 本课属于概念课，通过探索求曲边梯形面积的四个步骤，深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。本课在讲了一个经典案例之后给出一个课堂检测，巩固曲边梯形面积的求法。,金门大桥 （美国）,微积分在几何上有两个基本问题:,1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；,2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。,直线,几条线段连成的折线,曲线？,和曲线 所围成的图形称为曲边梯形.,曲边梯形的定义：由直线,概念形成,看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？,思维导航,不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解,魏晋时期的数学家刘徽的割圆术,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,刘徽的这种研究方法对你有什么启示?,思维导航,-割圆术,魏晋时期的数学家刘徽的割圆术,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：刘徽在九章算术注中讲到,刘徽,刘徽的这种研究方法对你有什么启示?,以“直”代“曲” 无限逼近,案例探究,如何求由直线 与抛物线 所围成的平面图形的面积 S？,思考1：怎样“以直代曲”？ 能整体以“直”代“曲吗？ 思考2：怎样分割最简单？,方案1,方案2,方案3,为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形,对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲”.,y = f(x),用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,A A1+ A2+ A3+ A4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为,分割越细，面积的近似值就越精确.当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.,下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程,分割,把区间0，1等分成n个小区间：,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作,近似代换,求和,取极限,分割,近似代换,求和,取极限,分割，求和，取极限,当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示小曲边梯形的面积,表示了曲边梯形面积的近似值,点击演示,通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程.,（1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？ （2）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗 ？ （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？,两个结论,1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。,2.在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值作为近似值，结果也是一样的。,一般曲边梯形的面积的表达式,以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：,1.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.,(2)近似替代 以每个区间的左端点的函数值为高作n个小矩形,当n很大时,用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯形的面积S;,(3)求和,(4)取极限,即曲边梯形的面积为,求一个具体曲边梯形的面积,方案一、方案二、方案三,分割、近似代替、求和、求极限,“以直代曲”和“无限逼近”思想,有位成功人士曾说过：“做事业的过程就是在求解一条曲线长度的过程。每一件实实在在的小事就是组成事业曲线的直线段。”想想我们的学习过程、追求理想的过程又何尝不是这样？希望大家能用微积分的思想去学习、去做事！,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,返回,