第七章,一元函数积分学,多元函数积分学:,二重积分,二 重 积 分,三、二重积分的性质,第七章,一、引例,二、二重积分的定义,四、二重积分的计算,二重积分,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,4)“取极限”,令,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分 (double integral ) 的定义,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,三、二重积分的性质1,( k 为常数),( k 为常数),三、二重积分的性质2,三、二重积分的性质3,三、二重积分的性质4, 为D 的面积, 则,三、二重积分的性质5,5. 若在 a , b 上,则,5. 若在D上,则,特别, 由于,6. 设,D 的面积为 ,则有,三、二重积分的性质6,6. 设,则,7.(二重积分的中值定理),在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,连续,三、二重积分的性质7,7. 积分中值定理,则至少存在一点,使,