Matlab 机械优化设计,课件, 最小化问题,一、 单变量最小化,1.相关函数介绍,（1） fminbnd,功能：找到固定区间内单变量函数的最小值。,语法和描述： fminbnd求取固定区间内单变量函数的最小值。 x = fminbnd(fun,x1,x2)返回区间x1，x2上fun参数描述的标量函数的最小值x。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。,fminbnd,x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,.)提供另外的参数P1,P2等,传输给目标函数fun。如果没有设置options选项，则令options=。,x,fval = fminbnd(.)返回解x处目标函数的值。,x,fval,exitflag = fminbnd(.)返回exitflag值描述fminbnd函数的退出条件。,x,fval,exitflag,output = fminbnd(.)返回包含优化信息的结构输出。,参数描述表,算法： fminbnd是一个M文件。其算法基于黄金分割法和二次插值法。 局限性： 1目标函数必须是连续的。 2fminbnd函数可能只给出局部最优解。 3当问题的解位于区间边界上时，fminbnd函数的收敛速度常常很慢。此时，fmincon函数的计算速度更快，计算精度更高。 4fminbnd函数只用于实数变量。,应用实例,例1 在区间（0，2）上求函数sin(x)的最小值：, x = fminbnd(sin,0,2*pi) x =4.7124,例2.对边长为3m的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？ 模型建立：假设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为,现在要求在区间（0，1.5）上确定一个x，使 最大化。因为优化工具箱中要求目标函数最小化，所以需要对目标函数进行转换，即要求 最小化。,首先编写M文件 opt21_3o.m: function f = myfun(x) f = -(3-2*x).2 * x; 然后调用fminbnd函数(磁盘中M文件名为opt21_3.m)： x = fminbnd(opt21_3o,0,1.5),无约束非线性规划问题,相关函数,fminunc函数,fminsearch函数,fminunc函数 功能： 给定初值，求多变量标量函数的最小值。 常用于无约束非线性最优化问题。 数学模型： 其中，x为一向量，f(x)为一函数，返回标量。,语法格式及描述,x = fminunc(fun,x0)给定初值x0，求fun函数的局部极小点x。x0可以是标量、向量或矩阵。 x = fminunc(fun,x0,options)用options参数中指定的优化参数进行最小化。 x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,.)将问题参数p1、p2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。,x,fval = fminunc(.)将解x处目标函数的值返回到fval参数中。 x,fval,exitflag = fminunc(.)返回exitflag值，描述函数的输出条件。 x,fval,exitflag,output = fminunc(.)返回包含优化信息的结构输出。 x,fval,exitflag,output,grad = fminunc(.)将解x处fun函数的梯度值返回到grad参数中。 x,fval,exitflag,output,grad,hessian = fminunc(.)将解x处目标函数的Hessian矩阵信息返回到hessian参数中。,参数描述表,适用于大型和中型算法的参数： l Diagnostics 打印最小化函数的诊断信息。 l Display 显示水平。选择off，不显示输出；选择iter，显示每一步迭代过程的输出；选择final，显示最终结果。打印最小化函数的诊断信息。 l GradObj 用户定义的目标函数的梯度。对于大型问题此参数是必选的，对于中型问题则是可选项。 l MaxFunEvals 函数评价的最大次数。 l MaxIter 最大允许迭代次数。 l TolFun 函数值的终止容限。 l TolX x处的终止容限。,只用于大型算法的参数： l Hessian 用户定义的目标函数的Hessian矩阵。 l HessPattern 用于有限差分的Hessian矩阵的稀疏形式。若不方便求fun函数的稀疏Hessian矩阵H，可以通过用梯度的有限差分获得的H的稀疏结构（如非零值的位置等）来得到近似的Hessian矩阵H。若连矩阵的稀疏结构都不知道，则可以将HessPattern设为密集矩阵，在每一次迭代过程中，都将进行密集矩阵的有限差分近似（这是缺省设置）。这将非常麻烦，所以花一些力气得到Hessian矩阵的稀疏结构还是值得的。,l MaxPCGIter PCG迭代的最大次数。 l PrecondBandWidth PCG前处理的上带宽，缺省时为零。对于有些问题，增加带宽可以减少迭代次数。 l TolPCG PCG迭代的终止容限。 l TypicalX 典型x值。 只用于中型算法的参数： l DerivativeCheck 对用户提供的导数和有限差分求出的导数进行对比。 l DiffMaxChange 变量有限差分梯度的最大变化。 l DiffMinChange - 变量有限差分梯度的最小变化。 l LineSearchType 一维搜索算法的选择。,习题4-6,%目标函数m文件，保存为xiti4j6.m function f=myfun(x); f=10*x(1)2+x(2)2-20*x(1)-4*x(2)+24;,%求解m文件 options=optimset(display,on,maxiter,10e5,tolfun,10e-5,tolx,0.01); x0=2,-1; x,fval,exigflag,hessian=fminunc(xiti4j6,x0,options),x = 1.0000 2.0007 fval = 10.0000 exigflag = 1 hessian = iterations: 6 funcCount: 21 stepsize: 1 firstorderopt: 0.0013 algorithm: medium-scale: Quasi-Newton line search,例：,初始点1，1,程序：编辑ff2.m文件： function f=ff(x) f=8*x(1)-4*x(2)+x(1)2+3*x(2)2; 编辑command.m文件 x0=1,1;%取初始点： x,fval,exitflag=fminunc(ff,x0),Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX x = -4.0000 0.6667 fval = -17.3333 exitflag = 1,注意 1对于求解平方和的问题，fminunc函数不是最好的选择，用lsqnonlin函数效果更佳。 2使用大型方法时，必须通过将options.GradObj设置为on来提供梯度信息，否则将给出警告信息。,局限性 1 目标函数必须是连续的。fminunc函数有时会给出局部最优解。 2 fminunc函数只对实数进行优化，即x必须为实数，而且f(x)必须返回实数。当x为复数时，必须将它分解为实部和虚部。,fminsearch函数,功能：求解多变量无约束函数的最小值。该函数常用于无约束非线性最优化问题。,x = fminsearch(fun,x0) 初值为x0，求fun函数的局部极小点x。x0可以是标量、向量或矩阵。 x = fminsearch(fun,x0,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。 x = fminsearch(fun,x0,options,P1,P2,.) 将问题参数p1、p2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。,语法格式及描述：,x,fval = fminsearch(.)将x处的目标函数值返回到fval参数中。 x,fval,exitflag = fminsearch(.)返回exitflag值，描述函数的退出条件。 x,fval,exitflag,output = fminsearch(.)返回包含优化信息的输出参数output。,参数： 各参数的意义同fminunc。,fminunc与 fminsearch,对于求解二次以上的问题， fminsearch比fminunc更有效，而且当问题为高度非线性时，前者更有效。 fminsearch不适合求解平方和的问题，用lsqnolin更好。,三、约束最小化,相关函数介绍,fmincon函数,功能：求多变量有约束非线性函数的最小值。,fmincon函数,数学模型：,其中，x, b, beq, lb,和ub为向量， A 和 Aeq 为矩阵， c(x) 和 ceq(x)为函数，返回标量。f(x), c(x), 和 ceq(x)可以是非线性函数。,非线性不等式约束 非线性等式约束,线性不等式约束 线性等式约束,设计变量的上下界,语法格式及描述：,x = fmincon(fun,x0,A,b) 给定初值x0，求解fun函数的最小值x。fun函数的约束条件为A*x = b，x0可以是标量、向量或矩阵。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 最小化fun函数，约束条件为Aeq*x = beq 和 A*x = b。若没有不等式存在，则设置A=、b=。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得总是有lb = x = ub。若无等式存在，则令Aeq=、beq=。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 在上面的基础上，在nonlcon参数中提供非线性不等式c(x)或等式ceq(x)。 fmincon函数要求c(x) = 0且ceq(x) = 0。当无边界存在时，令lb=和（或）ub=。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 用optiions参数指定的参数进行最小化。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,.) 将问题参数P1, P2等直接传递给函数fun和nonlin。若不需要这些变量，则传递空矩阵到A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon和 options。,x,fval = fmincon(.) 返回解x处的目标函数值。,x,fval,exitflag = fmincon(.) 返回exitflag参数，描述函数计算的退出条件。,x,fval,exitflag,output = fmincon(.) 返回包含优化信息的输出参数output。,x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon(.) 返回解x处包含拉格朗日乘子的lambda参数。 x,fval,exitflag,output,lambda,grad = fmincon(.) 返回解x处fun函数的梯度。 x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon(.) 返回解x处fun函数的Hessia