,一、 功,恒力的功,变力的功,物体在变力的作用下从a运动到b,b,a,23 功 动能 动能定理,积分形式：,在数学形式上，力的功等于力 沿路径L从a到b的线积分。,F-r图，A=曲线下的面积,注意： 、功是标量， 有正、负。,、功是过程量，只有物体的位置发生变化的过程中才存在功。 、功的计算与参考系选择有关：同一个力对同一质点在同一过程中作的功因参考系的不同而异。,例1 在10m深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一共的质量为10kg。由于桶漏水，每上升一米漏水0.2kg，求一桶水从水面提到井口需作功多少？,解：dA=Fcos dy =(m0.2y) gdy,二、质点的动能定理,根据功的积分形式,a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。,d.功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。,b.动能的量值与参考系有关。,c.动能定理只适用于惯性系。,注意：,合外力所作的功质点动能的增量,定义质点的动能为：,例 一条均匀链条，质量为 m，总长为 l，成直线状放在桌面上，设桌面与链条之间的摩擦系数为。现已知链条下垂长度为 a 时，链条开始下滑。试用动能定理计算链条刚好全部离开这个桌面时的速率。,对下垂部分a：,对桌面上部分 l-a:,将（2）式和（3）式代入（1）式得,所以有,例2 在一块木板上钉钉子，钉子在木板中所受阻力跟深度成正比 f = Ky。 第一锤钉子进入木板1cm，求第二锤钉子能进入木板多深的地方？(每一锤外力所作的功相同),解：第一锤阻力作功A1,所以,第二锤阻力作功A2,由动能定理知,24 保守力 成对力的功 势能,一、保守力,1. 重力的功,质量m的物体，从高度h1h2,重力的元功:dA=mgcos dr,又 cos dr= -d h,重力作功只跟始末位置有关，跟路径无关，这种力称保守力。重力是保守力。,2. 弹力的功,dA=Fcos dx = kx (1) dx,弹力也是保守力,(dx 0),3. 引力的功,引力的元功：,m2在m1 m2引力作用下，从12引力所作的功,4. 保守力的数学表达式,质点沿一闭合路径绕行一周，力所作的功为零，该力称保守力。,万有引力也是保守力！,二、成对力的功,设:质点m1和m2, 它们之间的相互用力为 和,结论:成对力的总功与参考系的选择无关,其大小只取决于力和相对位移的乘积.,计算摩擦力对A、B系统所作的功,L,三、势 能,以上讨论了重力、弹力、引力的功,上三式等号左边是功，右边是能量的改变，这种能量只跟位置有关，称为位能(也称势能)。,为了确定a点的势能Epa, 先要确定势能零点Epo,A保0, EpaEpo,零势能点的选择要使势能的表达式比较简单！,重力势能零点ho=0,弹性势能零点xo=0,引力势能零点ro=,重力势能= mgha,势能曲线,（1）势能曲线,总结:,(2)只有系统相互作用力为保守力才能引入势能,(3)势能是物体组成系统所共有,(5)保守力的功=势能增量的负值,(4) 势能是位置函数势能大小与势能零点选取有关，两点的势能差值却是绝对的,表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。,(6)利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。,例：(如图)弹簧下挂一重物质量为 m ，弹簧的劲度系数为k 原长为l0，分析系统在任意位置处势能大小,0,解：建立坐标，平衡位置 为弹性势能和重力势能的零点,距平衡位置为x 处系统势能为,由平衡位置条件：mg=kl,（1）,代入（1）式,得：mgx=klx,一、质点系的动能定理,设质点系中有n个质点，每个质点受外力F, 内力f，利用质点的动能定理，对第i个质点有,2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律,对系统 n 个质点求和,一力学系统所有外力作的功所有内力作的功系统总动能的增量,注意：内力所作的功一般不为0。,意义：,弹丸击入沙箱前进一段距离.内力所作的功,A内 = f (s+l) + f s f = f,所以 A内= f l 0,二、质点系的功能原理,对一个力学系统由1状态变化到2状态时，根据质点系的动能定理,因此,而,系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量。,三、机械能守恒定律,如果,(或只有保守力作功),则 E2 = E1 系统机械能守恒,机械能守恒定律：,如果一个系统只有保守力作功，其它内力和一切外力都不作功，或所作功的代数和等于零，那么系统的总机械能保持不变。,说明：,（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。,（2）机械能守恒是对于系统而言,机械能守恒必须明确是对于那些物体组成系统。,(3)守恒条件,(4)系统保守内力的功使得系统动能和势能相互转换,但不改变系统的机械能,例题1(2-14) 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。,则,解：解法一，根据功的定义，对m受力分析.,t,解法二，根据动能定理,解法三，根据功能原理，以物体和地球为研究对象,得,负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功42.4J,一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守恒定律.,四、能量守恒定律,例2 如图所示质量为M 的物块A在离平板h的高度处自由下落，落在质量也是M 的平板B上。已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。,解： 从物块A自由下落到弹簧压缩到最大限度可分为三个物理过程： (1)物块A作自由落体运动，到B时速度为v1;,(2) 物块A和平板B作完全非弹性碰撞，碰后速度为v2;,(3) 碰撞后弹簧继续被压缩到最大压缩量x2。,对每个物理过程列出方程：,（1）,（2）,第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。取弹簧处于自然状态时，其上端点位置为坐标原点。取x2位置为重力势能零点，则第三个过程方程为,（3）,在A、B未碰撞前,B的重力跟所受弹力平衡,因此有kx1 = Mg （4）,解 (1)(2)(3)(4)式可得弹簧的最大压缩量x2,方法二:,第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。取A落到B上后的平衡位置为坐标原点。此位置为重力势能与弹性势能的零点，则第三个过程方程为,图311,h,x,A,B,A,B,A,B,A,0,x,-x1,求:木块滑到斜面底部时速度,解:选取地球、M和m 组成系统,水平方向动量守恒,例3、已知: M 和 m 接触面均光滑,斜面高为h,倾角为,解得:,由机械能守恒得；,解：,对A、B系统水平方向动量守恒,由动能定理,思考题:质量为M,半径为R的四分之一光滑圆弧槽静止于光滑水平地面,质量为m的物体由静止开始从A滑到槽底B,求滑到B点时（1）M、m对地的速度.（2）m对M的压力。,