利用直角坐标系计算二重积分,利用极坐标系计算二重积分,二重积分的换元法,8.2 二重积分的计算,(1) 积分区域为：,其中函数,在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,有:,先对y后对x的二次积分,例,解,所围平面闭区域.,两曲线的交点,(2) 积分区域为：,先对x后对y的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续.,先对x后对y的积分,计算结果一样.,又是Y型:,(3)积分区域D既是X型:,但可作出适当选择.,(4) 若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.,(用积分区域的可加性质),则必须分割.,例,解1,将D看成X型区域,例,解2,将D看成Y型区域,D1,D2,第一种方法计算量小,例,siny2 对y的积分,而它对x的积分,交换积分次序的方法是:,改写D为:,分析,所以将二次积分先,将所给的积分域,(1),(2),画出积分域的草图,(3),计算二次积分,不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.,交换积分次序.,用联立不等式表示 D:,例,交换积分次序：,解,积分区域:,原式=,又是能否进行计算的问题.,计算二重积分时,恰当的选取积分次序,十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且,凡遇如下形式积分:,等等,一定要放在,后面积分.,解,计算积分,不能用初等函数表示,先交换积分次序.,练习,例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及,解,求所围成的,立体的体积.,解,(1)先去掉绝对值符号,如图,例,D1,D2,D2,解,(2) 仿照(1)的方法，同时充分利用可加性,例,D1,D2,D2,D1,例 求证,左边的累次积分中,积分域,可表为,提示,不能具体计算.,所以,是y的抽象函数,证毕.,先交换积分次序.,练习,计算二重积分,其中,解,设,二、利用极坐标系计算二重积分,即,也即,(1) 积分区域D:,(2)积分区域D(曲边扇形):,(3) 积分区域D:,解,例,计算,其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.,在极坐标系下,解,求反常积分,例,显然有,又,夹逼定理,即,所求反常积分,解,例,写出积分,的极坐标二次积分,其中积分区域,形式,在极坐标系下,圆方程为,直线方程为,将直角坐标系下积分:,化为极坐标系下的累次积分.,解,练习,原式=,解,计算,所围成的平面闭区域.,例,及直线,计算,因被积函数,D2,例,分析,故,的,在积分域内变号.,D1,计算,解,积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.,原式=,记D1为D的y0的部分.,则,D1,练习,三、二重积分的换元法,设被积函数,在区域D上连续,若变换,满足如下条件:,(1),一对一地变为,D上的点;,(2),有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式,例,解,令,则,即,故,例,解,所围成的闭区域.,其中D为椭圆,作广义极坐标变换,故换元公式仍成立,