化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering,第六章 近似解析方法 1、奇异摄动法 2、试验函数法 3、正交配置法,第六章近似解析方法概论,解析解与数值解的比较 解析解由简单函数关系式直接给出的对应关系 结构简单，计算代价小 结果可靠，直观，便于应用 对一般问题难以得到 数值解以大量数字对应方式给出的函数关系 适用性广，可处理复杂问题和大规模问题 依赖于计算工具和特定算法，代价较大,第六章 近似解析方法摄动法,1 摄动法 摄动法将问题对小参数进行级数展开的求解方法 正则摄动：小参数直接展开的方法 奇异摄动：直接展开失效后采用的专门方法或改进方 法,第六章 近似解析方法摄动法,1、正则摄动与奇异摄动 例1 最高次项含小参数的非线性代数方程的求解 设 得,第六章 近似解析方法摄动法,正则摄动只能得到一个根，因为直接展开失去了问题的非线性性质。,第六章 近似解析方法摄动法,如果作变换 y = u/ ，得 然后对u 直接展开，得到另一个根,第六章 近似解析方法摄动法,准确解为 当 0时，其两个根分别趋于y a和y 1 ，对应的两个摄动解分别称为正则摄动解与奇异摄动解。,第六章 近似解析方法摄动法,例2 小参数位于非导数项中的情况 设 得,第六章 近似解析方法摄动法,近似解与准确解 极为接近，这种情况下正则摄动法是奏效的。,第六章 近似解析方法摄动法,例3 方程最高阶导数乘小参数的情况 当 0时，方程由二阶退化成一阶方程，近似解只能满足一个边值而难以同时满足两个边值。,第六章 近似解析方法摄动法,直接展开得到 取x =1处的边界条件 y0 (1) = ，y1 (1) = 0，得到,第六章 近似解析方法摄动法,在 x =0 处 因此，近似解不满足x =0 处的边值。,第六章 近似解析方法摄动法,分析： x =0 处存在一个边界层 边界层的存在是小参数乘最高阶导数问题的特征,第六章 近似解析方法摄动法,概念：渐近级数与收敛级数 收敛级数：按变量展开的级数，如泰勒级数，三角级数，幂级数等，级数的精度随项数的增加而提高； 渐近级数：按参数展开的级数 系数yn(x)是由展开后的问题顺序解出的，因此级数不一定收敛，一般只取级数的23项。,第六章 近似解析方法摄动法,2、边界层方法 基本思想： 放大镜将空间边界层放大，使分布变平缓，突出边界层内的作用； 慢镜头将时间尺度放大，使变化减缓，突出快速变化的过程。 历史来源与发展： Prandtl边界层方程，Blasuis匹配方法，PLK方法,第六章 近似解析方法摄动法,边界层方法的求解步骤 1、外解直接展开 2、内解边界层放大 3、匹配内解与外解的衔接 4、合成内解与外解的组合,第六章 近似解析方法摄动法,例3 1、外解,第六章 近似解析方法摄动法,2、内解 边界层放大，定义内部坐标,第六章 近似解析方法摄动法,取1以保留二阶导数项，得 令 得,第六章 近似解析方法摄动法,解出0阶近似 常数C由匹配条件确定,第六章 近似解析方法摄动法,3、匹配 Prandtl匹配原理0阶近似的匹配方法 得0阶内解,第六章 近似解析方法摄动法,4、合成 加法合成法 合成解外解内解公共部分 高阶近似的匹配Van Dyke匹配原理 n项外解的m项内部展开 m项内解的n项外部展开,第六章 近似解析方法摄动法,匹配后的两项近似内解 合成后的两项近似解,第六章 近似解析方法摄动法,3、时间边界层刚性问题（stiff equs) 刚性问题：具有不同时间尺度的变化问题； 特点：快步骤与慢步骤共存 拟稳态近似与定常态近似 计算难点：数值振荡，多步Gear 方法 奇异摄动：慢镜头分析，给出完整的结果,第六章 近似解析方法摄动法,例 慢时间尺度解（0）拟稳态近似,第六章 近似解析方法摄动法,快时间尺度解定常态近似,第六章 近似解析方法摄动法,合成与匹配Von Dyke匹配原理 例：催化剂的平行失活问题 反应快、失活慢，二者均需要考虑,第六章 近似解析方法摄动法,无量纲化 1、先求内解，内解可完全确定,第六章 近似解析方法摄动法,令,第六章 近似解析方法摄动法,得到两项近似内解,第六章 近似解析方法摄动法,2、直接展开求外解，外解不满足初值，含任意常数 3、内、外解匹配确定外解任意常数 得到外解,第六章 近似解析方法摄动法,第六章 近似解析方法摄动法,4、合成含有快、慢尺度的统一解,第六章 近似解析方法摄动法,第六章 近似解析方法摄动法,4、移动的空间边界层问题 非线性色谱过程的浓度前沿 非线性吸附效应与扩散效应之间的竞争作用 移动的空间边界层的形成 求解思路 外解非线性色谱问题的激波解 内解采用跟随激波的移动坐标系，放大边界层 匹配与合成,第六章 近似解析方法摄动法,问题,第六章 近似解析方法摄动法,1、外解 由特征线法 浓度激波位置xs由匹配条件确定,第六章 近似解析方法摄动法,2、边界层内解 积分得 3、匹配,第六章 近似解析方法摄动法,由以上Prandtl匹配条件得激波间断关系 解得激波轨迹 边界层内解,第六章 近似解析方法摄动法,第六章 近似解析方法摄动法,4、0阶近似合成解,第六章 近似解析方法试验函数法,2 试验函数方法 思想：用已知的、含待定参数的简单函数近似代替准确解，用积分形式的方程或点近似方程代替微分方程，确定不定参数。 以牺牲一些局部的精确性为代价，换取对问题整体规律性的把握，在一定的近似范围内解决问题。 要点：试验函数的选择 残差处理方法,第六章 近似解析方法试验函数法,1、试验函数与方程残差 例1 落石问题 分析：下落速度从零增加到末速度,第六章 近似解析方法试验函数法,设试验函数为 是待定参数，代入方程得到残差 若要求在t=时刻方程成立，R()=0，得,第六章 近似解析方法试验函数法,由准确解 特点：方程只在一个点满足，近似解“八九不离十” 例2 催化剂颗粒有效系数计算,第六章 近似解析方法试验函数法,设试验函数 要求方程积分满足，得,第六章 近似解析方法试验函数法,取s=0，r(y)=y ，得 准确解 1 时，相差甚微（1%左右） ， 越大相差越大。 原因：快速反应浓度分布空心化，偏离抛物分布。,第六章 近似解析方法试验函数法,改进，对于快速反应，采用以下蛋白型试验函数 仍要求方程积分满足，确定参数xp,第六章 近似解析方法试验函数法,准确解 ，说明试验函数越接近真实，结果越准确。 例3 试井问题 拭井：反求地层参数的工业试验方法，压力变化方程,第六章 近似解析方法试验函数法,第六章 近似解析方法试验函数法,分析：影响半径RR() ，漏斗型分布，拟稳态假设 无穷远边值的有限化 积分平均近似 拟稳态试验函数,第六章 近似解析方法试验函数法,由边界条件 影响半径为待定函数，代入积分的压力方程，得 准确解,第六章 近似解析方法试验函数法,小结：试验函数法 试验函数的选择 尽可能接近真实 事先满足初始与边界条件 方程残差的处理 点近似 积分平均近似 加权积分近似,第六章 近似解析方法试验函数法,2、空间平均近似 例：球形颗粒上的不定常扩散 采用抛物型试验函数:,第六章 近似解析方法试验函数法,代入方程，令空间积分为0，得 系数A由初始条件确定，定义空间平均浓度，得 由初值为0,第六章 近似解析方法试验函数法,近似解与准确解的比较： 长时间后准确，短时间内偏离。 原因：渗透区的存在，偏离抛物型试验函数。,第六章 近似解析方法试验函数法,第六章 近似解析方法试验函数法,改进取渗透型试验函数 由空间平均近似,第六章 近似解析方法试验函数法,短时间解 准确解,第六章 近似解析方法试验函数法,3、边界层动量积分方法 问题：Prandtl边界层方程，非线性PDE方程组 y=0: u=v=0; y: u=U, v=0 x0: u=U, v=0,第六章 近似解析方法试验函数法,方法要点： 在边界层内用积分形式的动量方程代替微分方程 选择满足边界条件的多项式或其它函数为试验函数,第六章 近似解析方法试验函数法,1）边界层积分动量方程的推导 边界层厚度(x)是一个待定的函数,第六章 近似解析方法试验函数法,2）试验函数的选取 满足以下边界条件 取,第六章 近似解析方法试验函数法,代入动量积分方程得到确定边界层厚度(x)的方程 准确解,第六章 近似解析方法试验函数法,4、加权余量法（Galerkin方法） 残差加权积分为0的近似方法 权函数的选择 点近似 积分平均近似 矩量积分近似 最小二乘近似,第六章 近似解析方法试验函数法,Galerkin方法 Galerkin方法应用最广，其物理基础为变分原理,第六章 近似解析方法试验函数法,例：催化剂有效系数计