第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,二、高阶偏导数,三、小结 思考题,偏 导 数,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。,一、偏导数的定义及其计算法,偏导数的求法,由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法,求 时把 y 视为常数而对 x 求导,求 时把 x 视为常数而对 y 求导,这仍然是一元函数求导问题,如 在 处,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,一般地 设,解,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将 y = y0 代入 f (x ,y ),再对 x 求导然后代入 x = x0,计算 f y (x0 ,y0 ) 时同理,解,3、,4、,偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是区分清函数的类型这是出错的主要原因。,5、,若 f( x , y ) =f( y , x ),则称 f( x , y ) 关于 x , y 具有轮换对称性,在求 时,只需将所求的,中的 x , y 互换即可,6、偏导数存在与连续的关系,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,7、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,二、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,解,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,解,三、小结,偏导数的定义,（偏增量比的极限）,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,思考题,思考题解答,不能.,例如,练 习 题,练习题答案,