幂级数测试题 1 / 11 第十四章 幂级数 单选题 ：1 设幂级数的收敛半径为 R ， 则下列断语中正确的是 （A）在上一致收敛。 （B）在内某些点处非绝对收敛。 （C）的收敛半径大于。 （D）对任意的，在上一致收敛。 2。若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数 (A) 在处发散； (B) 在处收敛； (C)收敛区间为 ; (D) 当时发散。 3幂级数级数的收敛域是 (A) (B) (C) (D) 4若幂级数的收敛半径为R,那么 (A), (B) , (C), (D)不一定存在. 5如果能展开成的幂级数，那么该幂级数 (A) 是的麦克劳林级数； (B) 不一定是的麦克劳林级数； 幂级数测试题 2 / 11 (C)不是的麦克劳林级数； (D) 是在点处的泰勒级数。 6. 如果,则幂级数 (A)当时,收敛； (B) 当时,收敛； (C) 当时 ,发散； (D) 当时 ,发散 7.设级数在处是收敛的，则此级数在处 (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C)条件收敛； (D) 不能确定敛散性。 8 幂级数在其收敛区间的两个端点处 A 全是发散的 . B. 全是收敛的 C. 左端点发散 , 右端点收敛 . D 左端点收敛 , 右端点发散 9. 函数展开成的幂级数的方法是 . 10. 幂级数的收敛域为 答案 : 110 DDBDA ADDDA 幂级数测试题 3 / 11 填空题 ：1. 若幂级数在内收敛 , 则应满足 _. 2. 设幂级数的收敛半径为2, 则级数的收敛区间 为_. 3.级数的和函数为 _. 4. 设是一等差数列, 则幂级数收敛 域是 _. 5. 与有相同的 _. 6. 的幂级数展开式_. 7. 幂级数只有在_区间内才有和函数. 8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数_不变 . 9. 的幂级数表达式_. 10. 级数在区间 _收敛 . 答案： 1. . 4. ( -1, 1) 5. 收敛区间 . . 6. 7. 收敛 . 8. 收敛半径 . 9. 计算题 1.求幂级数的收敛域及和函数. 2. 求幂级数的收敛域及和函数. 3. 求幂级数的收敛半径与收敛域 ( 1) 幂级数测试题 4 / 11 4. 将函数展开为的幂级数 , 并指出收敛域 . 5. 求函数在 x=1 处泰勒展开式. 6. 设幂级数当时有且求该幂级数的 函数 . 7. 将展成 x 的幂级数 . 8. 求幂级数的和函数 . 9. 试求幂级数的收敛区域及和函数 10. 设，确定的连续区间，并求积分的值 答案 : 1. 解 因且当时级数都发散, 故该级数的收敛域 为 ( -1, 1 ), 令, 则 , . 2. 解: 收敛半径, 当时, 原级数发散 , 故原级数的收敛域 为 ( -1, 1 ). 设其和函数为, 幂级数测试题 5 / 11 3. ( 1 ) 解记, 由于 , 故 收敛半径R=1, 收敛区间为 ( -1, 1 ) 当时, 由于, 故级数发散 , 所以该级数的收敛域为 ( -1, 1 ) . ( 2 ) 解 记因为 所以收敛半径R=1, 收敛域为 -1, 1 . 4. 解 而 而级数与的收敛域都是 -1, 1 , 故当时 5. 解因 . 6. 设和函数则 幂级数测试题 6 / 11 即. 解上述关于的二阶微分方程, 得. 7. 解 易看出, 而 两边求导 , 得. 8.级数的和函数为 9. 由于级数在上收敛， 所以当时，有 10. 因为幂级数的收敛域是，所以 在上的连续， 幂级数测试题 7 / 11 且可逐项积分。 . 证明题 ： 1. 设在内收敛 , 若也收敛 , 则 . 2. 设 f为幂级数在 ( -R, R ) 上的和函数 , 若 f为奇函数 , 则原级数仅出现奇次幂 的项 , 若 f 为偶函数 , 则原级数仅出现偶次幂的项. 3. 设函数定义在 0, 1 上, 证明它在 (0, 1 ) 满足下述方程 : 4. 设证明当时, 级数收 敛. 5.设 幂 级 数，的 收 敛 半 径 分 别 为， 设 ，证明：当时，幂级数绝对收 敛。 6. 设，求证： 其中 7. 设，。证明：当 时，满足方程。 幂级数测试题 8 / 11 8. 若幂级数的收敛半径为R(0), 且在(或时收敛 , 则级数 在 0, R ( 或 -R, 0 ) 上一致收敛 . 9. 设 函 数在 区 间内 的 各 阶 导 数 一 致 有 界 ,即 存 在 正 数M, 对 一 切 , 有, 证明 : 对内任一点与有 . 10. 证明 : 满足方程. 答案 : 1. 证明 : 因为当收敛 , 有 又当时 , 收敛 , 从而可知在左连续 ,于是 . 2. , , 当为奇函数时 , 有, 从而 , 这时必有. 当为偶函数时 , 有 此式当且仅当. 幂级数测试题 9 / 11 3.证明 : 设则 . 所以 故. 0x1. 4. 因为 所以, , 取极限得到, 从而级数的收敛半径 故时, 级数收敛 . 5. 对于任意，由于， 所以，绝对收敛。 又 所以绝对收敛。 6. 时 , ， ， 幂级数测试题 10 / 11 故 从而 7. 由于，幂级数的收敛半径是1， 所以当时，可微， 且 故 即满足方程。 8. 证明 : 设级数在时收敛 , 对于有 = 已知级数收敛 , 函数列在上递减且一致有界, 即 由阿贝耳判别法知, 级数在上一致收敛 . 幂级数测试题 11 / 11 9. 证: 对由于 , 所以. 10. 证 : 因 幂 级 数 的 收 敛 区 间 为, 它 可 以 在内 逐 项 微 分 任 意 次 , 从 而, , 将代入有 .