189P.269 习题4举例说明： 收敛且 在 上连续时，不一定有adxf)(f),a0)(limxfx解 设 ),21)(21),0)( 11 nxnxnxxf n则 在 连续，且f),0 2121)(10 nndxf但 在 无界且 不存在.f,limfx5证明：若 收敛，且存在极限 ，则 .adf)( Axfx)(li0证 反证法. 假设 ，不妨设 . 由保号性，存在 ，当 时，0A0aNx，于是02)(xf NNaNNaa dxfdxfdxfdxf 2)()()()(这与 收敛相矛盾，所以 .0A6证明：若 在 上可导，且 与 都收敛，则f),axf)(axf)(xy2122n87nO1900)(limxfx证 因为 收敛，所以极限)(lim)(li)( afudxfdxfuaa 存在，从而由第 5 题知，)(liuf 0xP.275 习题2设 与 是定义在 上的函数，对任何 ，它们在 上都可积. 证fg),aau,u明：若 与 收敛，adx)(2dx(2则 与 也都收敛.fagf2)证 因为 ，且 收敛，所以(|)(| xxfadxgxf2)(收敛，从而 收敛.adxgf|)(| adgf)(由于 ，所以收敛 a dxgxfxxf )(2)( 223设 、 、 是定义在 上的连续函数，且成立不等式h),. 证明：)()(xgfxh 若 与 都收敛，则 也收敛；adadxg)(adxf)(若 ，则Axh)( A证 因为 与 都收敛，由无穷积分的 Cauchy 准则，有a)(ax)(， ，使得当 Gu21,时，有 与 0G 21)(udxh. 21)(udxg又由 ，有 . 从而有)(fh212121 )()()(uuu xgxfdxh 212121 uuu dfx191即 . 由 Cauchy 准则，积分 收敛；21)(udxf adxf)( 由 ，得ghuauua gdxh)(若 ，所以Axuua lim)(lidfdxfauali)(4 13rctnx解 因为 ，所以 收敛21rtli32x 13arctndx6举例说明： 收敛时 不一定收敛； 绝对adxf)(axf)(2adxf)(收敛时 也不一定收敛.af)(2解 设 ),41)2(,0nxxfn则 ，收敛，| 110 nndf但 ，发散.1024)(nxf7证明：若 绝对收敛，且 ，则 必定收敛.adf 0)(limxfxadxf)(2证 因 ，故存在 ，当 时， ，于是0)(lifx N1.由比较判别法，知 收敛.|)(|2xffadf)(28证明：若 是 上的单调函数，且 收敛，则 ，f),axf)( 0)(limxfx且 ，)1(xof证 设 在 上单调无界（不妨设无上界） ，即对任何 ，存在 ，f),a 0MaX192使得当 时， . 于是XxMxf)( XXaXXaa dxMxfdxfddf )()(这与 收敛相矛盾， 从而 在 上单调有界，故存在极限x)( ,. 由 P.269 习题 5，知Axfx)(lim0)(limAxfx下面证明： ， ，即 . )1(of)(lifx不妨设在 上 ，且单调减少. 因 收敛，由无穷积分的,a0xf adxf柯西准则， ， ，使得当 时，有 ，于是0GG2xtf2)(，即xxdtftff22)()()(10 0)(limfx9证明：若 在 上一致连续，且 收敛，则 .f,aadf 0)(lixfx证 因 在 上一致连续， ， （不妨设 ） ，使得当)0且 时，有 .),21x|21x2|)(|1xff又因 收敛，由无穷积分的柯西准则，对上述 ， ，使得当adf( aGGu21,时，有 .2|)|21uxf现在对任何 ，取 G,，使得 ，且 ，于是x 21ux1|)()()(|)(|)(| 1212121 uuu dtftfdtxfdtff 2| 21212121 uuuu tfttftfx从而 ，所以 .|)(|f 0)(limxfx193P.279 习题3 1023sindx解 因为 ，所以 收敛1silm2310x 1023sindx