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一维不定常流与冲击波-笔记 讲师:程军波九所 教材: 一维不定常流与冲击波李维新 编 一维不定常流动力学教程卢芳云 编 一维不定常流体力学周毓麟 编 课程内容: 第一章 流体动力学方程组:流体、状态、伯努利方程等 第二章 特征线:处理一维问题,黎曼不变量 第三章 简单波:稀疏波、压缩波 第四章 冲击波 第五章 自模拟运动 第六章 爆轰波 第一章流体动力学方程组 1、拉格朗日方法:关注流体质点,给出每个流体质点自始至终的运动过程,即 他们的位置随 时间变化的规律。 欧拉方法:关注 空间节点上 流体运动变化情况。如果所有空间节点的变化情 况都知道了,整个流体的运动状况就清楚了。 2、爆轰过程是快过程,不同的组分来不及通过扩散产生扩散流,即流项中的扩 散流部分可以忽略不计, 各组分都只有相同的宏观速度, 于是质量守恒方程: i iiiii uumw t其中, 0 ii u 爆轰力学方程: i iii umw t 3、含有 粘性的流体动量方程: 纳维-斯托克斯 方程 NS方程, 不考虑粘性 的流体,既是 欧拉方程 Euler Equation; 4、局部热动平衡:考虑的系统在每一个宏观小、微观大的局部区域中都达到热 动平衡。 理想气体:是指粒子之间的相互作用很微弱,可以忽略不计。 多方气体:当理想气体的比定容热容 V c 为常数时, 0, dQ QU dt 0, QQQQ uvwQU txyz 5、动量和能量方程:能量 =动能+内能+势能; A-动量方程: u uuF t 动量密度:u动量密度的源:F 运流: 即随质点运动带走的动量密度流uu 扩散流 :介质中的应力张量导致动量的扩散,因此,表面上将产生流过该面 的扩散流: 动量密度的流:运流和 扩散流:juu 扩散流解析: , pI pI 对角部分,弹性应力 耗散应力 非对角部分, 粘性应力、应力偏量 B-能量方程: 2 1 ,:;: 2 EeuPotential energy e inernal energy 当不考虑势能,动能时,介质的能量等于内能; E Ep uquRFu t 能量密度 : 21 , 2 EEeu 能量的源 两部分:本身释放的能量、外力做功RF u 总能的流 : 运流: 随质点运动带走的 Eu , 能量流 :热传导在单位时间内流过单位面积的能量流q, 做功:应力单位时间内在单位面积上所作的功:upIuu, 能量流项:运流+ 扩散流(能量流 +做功 ) jEuqpIuuEp uqu, 一般情况下,介质的内能增量有以下几部分: (1) 、周围介质对本介质做的压缩功, (2) 、外界对介质输入的热量; (3) 、介质表面上应力做的功;(4) 、介质本身释放的能量。 三大守恒方程组: 6、热力学方程 热力学第一定律:有能量守恒给出。包含能量传递方式。dedQpd 熵:指体系的混乱程度。热能除以温度所得结果,标志热量转化为功的程度。 dSdQ T 热二定律:俗称,熵增定律。 热力学的几个定律: 热力学第零定律: 两个热力学系统每一个都与第三个处于热平衡,那么它们也必 定处于热平衡。 热力学第一定律:能量守恒定律,内能等于热传导和做功; 热力学第二定律:熵增加原理; 热力学第三定律:绝对零度时,所有纯物质的熵值都为零; 内能、焓、自由能、吉布斯自由能: ; ; ; ; ; eQWhep deTdSpddhTdSdp FeTSGhTS dFSdTpddGSdTdp 比焓的意义: 在等压过程中比焓的变化等于系统所获得的能量;在等压的绝热过 程中比焓不变; 自由能的意义:在等温过程中,外界对系统所做的功全部用于增加系统的自由能; 在等温过程中,通常取自由能热力学函数; 7、状态方程 比定容热容、比定压热容: , Vp p QQ cc TT 声速: 2 S p c理想气体的声速: ,pRT 2 T STS pp dpddT T pppT c T 几类状态方程: A-理想气体:,pRT 理想气体只是温度的函数;,ee T B-多方气体: 00 ,0, VV eC TdeC dTeT 内能与温度成正比, 2 , S pp cRT C-凝聚介质: 8、凝聚介质: 凝聚介质的小扰动传播速度即声速,与气体的不同, 他与温度无关, 而是有介质 的弹性压缩率决定。 凝聚介质的特性 其状态方程,包含两部分,温度低和温度高时的情形, 内里包含 弹性的特性, 后续在利用时可以参照此处关于状态方程的信息。 9、伯努利方程: 定常绝热运动的方程 11 0, 2 1 2 0 1 uupu uhuu uuu uuu Dueto Adiabatic process dS dhTdSdp 由于矢量积垂直于速度,故它在流线切线方向上的投影为零,于是可得: 222221 ; 2 qhconstqu uuvw 第三次作业第一题的解题过程: 00 000000 0000 1 ; 1 11 ;lnln; 11 211 1;,2;,; 172 ;22 f C ffww fww CC www R dedWdqdepdVdq dTRTdh RdT T hdTdhTTTT ChVVpRTpRT TTTpRTpRTRTR T 0 ; C ww pRT 10、间断面及其关系 在 粘性流体和热传导 中,流体之间有 内摩擦和热量的传递 ,即耗散效应, 致使各物理量随时间及位置的变化是连续的, 在理想流体 中,忽略粘性和热传导,物理量的变化可能出现间断; 考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型 的, 不考虑耗散效 应的理想流体方程组是 双曲型 的; 接触间断面 :当间断面与其两边的流体以相同速度运动,即 12nn Duu 时,没有质量流穿过间断面; 满足的条件: 12 12 , , nn uu pp 法向速度连续: 两侧压强相等: 第二章特征线 1、小扰动波动方程: 0 0 0 0 22 000 2 00 0 0 int o 1 0 , int:0 :, SS tua tuppp utpb utuup pp pSpSpcc p c substituteo acud t Dueto u bp 0 2 22 0 2 int:. t andfo dcgEq t 波动 2、求解一维平面的波动方程,给出波的形式: 22 2 010201020 22 00 01020 0 10202 00 , 1 cFxc tFxc tufxc tfxc t txx fpcfxc tfxc t t cpfxc tfxc t cc 给出初始条件,可以求出函数 1020 fxc t and fxc t 的解。 3、求解球面声波: 20 222 2 0 2 22 0 0 0 0 0 : r u trrc r cutrrr tr frc t The form of thesolution s results r 相比于平面波,球面波的区别: (1) :平面波的振幅不随时间面改变,球面波振幅随着半径r 的增大而衰减; Reason :初始给扰动的能量有限、 确定的,在传播过程中, 扰动的物质增多 (或 表面积增大 ),导致强度降低; (2) :对动量方程作用,并积分时间项,得到: 00 0 0000 22 00 r c tr c t fdfd f rctcc u rrr 其中,多出的后一项的差别。 平面波中 ,波传播之处压力密度增加,通过后,恢复初始值0,0u,波区 域内的物质都是受压缩的; 球面波中 ,波通过之后介质要恢复为静止,不仅0,还要求速度的第二项为 零。因扰动中物质受压, 一部分区域的密度0,则必有一段区域0,即: 球面声波的受压区域后面必定跟随一个稀疏波。 4、特征线 有小扰动时,特征线存在;静止区域内,也可以通过偏微分方程给出特征线; 5、绝热运动的特征方程 2 1 0 1 0 0 11 00 00 p SS ddpdSdpdp pSpc dS dt puup u ca u ctxcx txx uupuup uub txxtxx SSSS uuc txtx 1212 1212 0,1, 1 0 0,1, 1 0 ,0 dx abuc dt uupp ucuc txctx dx abuc dt uupp ucuc txctx dxdS uc dtdt 依赖域:某一时刻,两特征线在X 轴交点的线段; 影响域:在 X-t 区域中,两特征线之间的区域; 稳定性条件 (Courant条件): 在数值计算中,时间步长与空间步长的关系: x t uc 6、特征线的性质 (a) 、在连续流动区域中,同族特征线不相交;若相交,则此处将会出现间断; (b) 、弱间断只沿特征线传播; (c) 、相邻的不用类型流动区域的分界线是特征线; 第三章简单波 1、定义:某一流动的一族特征线上的黎曼不变量是同一个常数,即各特征线上 的黎曼不变量是相等的,称为简单波。 若管道内气体的初始状态是均匀的,则沿 x 轴有 0和0,于是进入扰动 区中的整族 C 族特征线上为同一值 0,扰动区域的流动是简单波。 故:简单波有一族特征线是直线。在波区中, 0 , x t 0 0 , , dx Cucd dt Cxt 族特征线: 因每条的斜率都为常数,故: 2、简单波的一般形式: 两类方法求解:特征线法、流体动力学方程; (1)-特征线法 : 00 0 =const , =, , dx ucxt dt dp uul ccc uucu c xuc tuuc utuuu x t , 进而可以求出压强、密度、声速等的信息;反之,亦可以求出。 (2)-流体动力学方程 : 有第二章第 5 问题给出: 1 0,1 1 0,2 1 ,0 111 =+=+ 1 const= uupp ucuc txctx uupp ucuc txctx ppccpcc pdudp c upu udpdp ctctttc udp c 因等熵,全微分 , 因此,针对的简单波, , 21+=0, , cc u uu uc tx ufxuc torxuc tF u =const , 自动满足,式 由此得出简单波是单向行波。 简单波的直线族特征线,都有一个共同的起点,即 0 xx ,这样的简单波叫做中 心简单波。 3、向前和向后波 向前波:若波的传播速度大于质点的速度,则流体质点将从x 大的一边, 即右边 进入波动区;uc u。 反之,为向后简单波。ucu , =const , xuc tF u C dp uconst c 族特征线为直线, , =const , xuc tF u C dp uconst c 族特征线为直线, 4、稀疏波和压缩波 穿过简单波时,若流体的密度和压强增大,则称压缩波;直线特征线聚拢; 若流体的密度和压强减小,则称稀疏波;直线特征线分散; 理想气体的简单波: 2 , 1 d pc l c c 5、简单波性质: (1)、简单波中有一族特征线是直线; (2)、简单波是单向行波; (3)、简单波的传播速度随流体质点速度的增大而增大,反之亦然; (4)、因常态区的边界是特征线,故与常态区毗邻的区域中的等熵流动,必定是 简单波; 完全稀疏波:气体与活塞脱离,稀疏波使得气体出现自由面,并达到逃逸速度, 此时的压力和密度降低为零,气体所内稀疏到的最大程度,就称为完全稀疏波; 6、一维等熵流动的通解 高压气体推刚体的运动: 无限长管道的情况; 有限长管道的情况; 有限长管道开口的情况; 采用稀疏波特性,对其进行逐个分析; 第四章冲击波 1、冲击波:在宏观上表现为一个高速运动的高温、高压、高速度曲面,穿过该 曲面时介质的压力、密度、温度等物理量都发生急剧的变化,即突变。 冲击波具有一定的厚度 ,在这个厚度区间内各物理量发生迅速的变化,虽然 变化急剧,但实际上仍是 连续的;这是因为,实际的物质具有 粘性和热传导 ,其 耗散效应 保证了物理量变化的连续性。 然而, 数学上忽略了粘性和热传导等,故才是间断的; 冲击波,不关心小区间内物理量的变化情况,将此作为一个数学
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