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2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,博弈论及其应用,第5章 合作博弈,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),2,第5章 合作博弈,主要内容: 5.1 基本概念 5.2 占优方法:合作博弈一类解概念 5.3 估值方法:合作博弈的一类解概念 5.4 合作博弈的应用范例,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),3,5.1 基本概念,5.1.1 纳什谈判解与联盟 5.1.2 联盟与特征函数 5.1.3 特征函数的性质 5.1.4 合作博弈中的解概念,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),5,2人纳什谈判解的决定,在2人纳什谈判解讨论中,是二人经过谈判后可能达到的结果集。是谈判的初始参考点,经过纳什公理化体系,通过求解 ,可以得到一对谈判解。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),6,n人纳什谈判解的决定,设 是局中人的集合, 是n人经过谈判进行合作的可达结果集。当允许采用抽彩方法对结果分配时,结果集是一个凸集。 令 是谈判达不成协议的支付分配(或n个局中人的保守收益),作为谈判的初始参考点。将纳什公理化体系扩大到n人,则有n人纳什谈判解的唯一结果 。 一般情况下,它由下式决定:,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),7,纳什谈判的例子,例5.1.1 设有三个人参与分配300元,若第个人分得,则它的效用为 ,三个人提出的分配方案分别为 ,则当三个人方案一致时有收益,否则收益为零,用收益函数表达为:,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),8,纳什谈判的例子,很显然,这时可达结果集为: 而三个人所得的最低水平为0,即:初始参考点是 应用(5.1.1)式,容易得: 在这一博弈中,三人都采用了同样的策略 显然,作为理性的局中人,它的策略中不会使自己的收益小于 100元,而他若使自己的收益高于100元,则不会使其他人得到认同。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),9,纳什谈判的例子,例5.1.2 类同例5.1.1,但规定只有当局中人1和局中人2提出的分配策略不同时,各局中人的收益所得为0;若局中人1和局中人2提出的分配策略相同时,即,则按这一分配向各局中人支付,其收益函数可表达为: 这时的可达结果结仍为:,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),10,纳什谈判的例子,在例5.1.2博弈中,局中人1和局中人2可以联合起来对支付的分配策略进行选择,而局中人3的任何策略都无法干预分配方案。因而,可以合理地认为该博弈仅在局中人1和局中人2两人之间进行分配讨论。若局中人1和局中人2采用二人合作博弈的纳什谈判解。则其结果将是(150,150,0)。 在人谈判问题中,若出现联盟,则可能发生实质性的变化。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),11,纳什谈判的例子,例5.1.3 类同例5.1.1 。但该博弈规定,如果有两个局中人提出相同的分配策略时,则每人按这一策略进行支付,否则每个局中人的支付都为0。其收益函数可以表达为: 这时的可达结果集仍为:,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),12,纳什谈判的例子,在例5.1.3的博弈中,情况就非常复杂了。若局中人1和局中人2谈判分配方案为,局中人3可以和其中一个局中人再谈判.如与局中人1再谈判,提出分配方案 此后局中人2又可以和1,3中一个局中人,如局中人3谈判,提出分配方案,这种过程可以一直进行下去。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),13,纳什谈判的例子,对这一谈判过程的终止可以有两种规定: 一是规定局中人通过一轮谈判后形成一个协议,按照协议规定,每个局中人进行再谈判不能与以前的谈判相违背。可以看到,在三人博弈中,先行谈判的局中人具有先动优势。 二是规定谈判的次数的顺序。如规定谈判的顺序是先由1,2谈判,其次由2,3谈判。第3由1,3谈判,最后1,2,3谈判,这时局中人1和局中人3,即1,3谈判具有后动的优势。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),14,合作博弈与非合作博弈区分的 两个假设条件,作为合作博弈与非合作博弈的相区分的主要两个假设条件如下: 合作博弈中允许局中人在博弈前进行谈判;而非合作博弈不允许。 合作博弈中一旦达成协议,形成一个联盟,则协议有了强制约束力,因而联盟的一系列行动被局中人所承认;在非合作博弈中也有一定的博弈前沟通,如“相关均衡”,但它不具有强制的约束力,只能用利益进行诱导或激励。 在多人合作博弈中,联盟具有核心重要的作用。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),15,5.1.2 联盟与特征函数, 联盟的定义 可转移效用(TU) 特征函数的定义 特征函数的确定,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),16,联盟的定义,定义5.1.1 设博弈的局中人集合为 ,则任意 ,称S为N的一个联盟(coalition)。 特殊情况,允许取 和 ,后一种情况称为一个大联盟。 若 ,则 中联盟个数为 。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),17,可转移效用(TU),若联盟S中局中人的收益可以自由地分配,且任何局中人的收益变化1个单位,它的效用也变化1个单位,我们称为可转移效用(TU)(transformable utility),也称有旁支付的(with side-payments)。本章仅对可转移效用情况进行讨论。 可在转移效用(TU)的合作博弈中,联盟S的一个收益 表示它加入大联盟进行博弈的机会收益,或联盟 S 独立活动可获得的最大收益。这是进行合作博弈首先应确立的。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),18,特征函数的定义,定义5.1.2 设博弈的局中人集合为 , 是定义在N的一切子集(即联盟)上的实值函数,其满足: (1) (5.1.4) (2) (5.1.5) 称 为一个特征函数(characteristic function),或联盟函数(coalitional function)。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),19,给定局中人集合和特征函数,所进行的合作博弈称为可转移效用下合作博弈,记为 。它称为特征函数式博弈(characteristic function form)或联盟式博弈(coalitional form)。 在可转移效用下合作博弈,我们着重研究联盟中的收益分配问题。由于本章不涉及到不可转移效用,因此下面简称合作博弈。,特征函数的定义,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),20,特征函数的确定,方法一 若联盟S的成立可以获得独立于联盟S之外成交行为的收益,值 表示此时联盟可获得的最大机会收益。 在例5.1.1中 在例5.1.2中 在例5.1.3中,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),21,特征函数的确定,方法二 联盟S的成立可以获得受到独立于联盟S之外局中人的影响和阻扰下的最好收益。 下面我们从策略式博弈到特征函数式博弈的转换加以说明。 若给定一个策略形的非合作博弈 ,其中局中人的混合策略集合为,收益函数为 ,可以由多种方法从策略式博弈推导出特征函数。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),22,特征函数的确定,第一种方法: -特征函数和 -特征函数。 在 中(给定 的子集,即联 ), 特征函数定义为: 其中 为在混合策略 情况下,局中人 的期望收益 。 -特征函数是把局中人集合划分为两个联盟 和 这两个联盟进行一种二人零和博弈。联盟 将联盟 看成利益完全冲突的对立面,以保证自己的保守收益。,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),23,特征函数的确定,例5.1.4 设有一个非合作博弈 其中 每个局中人的纯策略均为 ,其收益函数如右表所示:,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),24,特征函数的确定,设局中人1,2组成联盟 则和进行的二人零和博弈支付矩阵如右所示: 可得矩阵博弈的值,即联盟S的所得为,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),25,特征函数的确定,若局中人3组成一个联盟, ,则和 进行的二人零和博弈支付矩阵为: 可得矩阵博弈的值,即联盟的解为: 类似计算可得:,联盟,联盟,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),26,在中,给定的的子集,即联盟, -特征函数定义为: -特征函数,仍是假定局中人集合分为联盟和联盟 ,两个联盟进行二人零和博弈。联盟是联盟形成利益冲突的对立面。定义-特征函数确定过程中,联盟是先行动,对任何策略选择,联盟之外的成员将选择策略使联盟的收益最小。在-特征函数确定过程中,联盟是后行动,对联盟之外的选择的任何策略,联盟将选择策略使自己的收益最大。,特征函数的确定,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),27,第二种方法,防御均衡特征函数(defensive-equilibrium characteristic function)。 在中,给定局中人集合的一个子集,即联盟防御均衡特征函数定义为: 其中,由如下方法确定:考虑一个二人非零和博弈,是博弈的纳什均衡。,特征函数的确定,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕)博弈论及其应用 (汪贤裕),#,2010-3-3,博弈论及其应用 (汪贤裕),28,例5.1.5 有一个可转移效
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