二次函数的存在性问题之菱形1. 如图，抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式； （2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由 2. 如图，直线 与 轴、轴分别交于 、两点，抛物线 经过 、两点，与 轴的另一个交点为 ，连接 （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点 的坐标； （3）点 从点 出发，沿线段 由 向 运动，同时点 从点 出发，沿线段 由 向 运动， 、 的运动速度都是每秒 个单位长度，当 点到达 点时， 、 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 ，使 、 运动过程中的某一时刻，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由 3. 如图所示，顶点为（，）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）（1）求抛物线的解析式； （2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值 4. 综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过点A，C （1）求抛物线的解析式 （2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数y=ax2+bx +c（a0）的顶点坐标为（ ， ） 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x27x+12=0的两个根，且OAOB（1）求OA、OB的长（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）23与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0， ），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧 （1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由7. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点（1）求直线AB和抛物线的解析式 （2）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 8. 如图，抛物线y=ax22x+c（a0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（2，0），点C（0，8），点D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标 9. 如图，抛物线 y=x2x2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求A、B、C三点的坐标； （2）连接MO、MC，并把MOC沿CO翻折，得到四边形MO MC，那么是否存在点M，使四边形MO MC为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由； 10. 抛物线y= x2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧（1）求D点坐标； （2）若PBA= OBC，求点P的坐标； （3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由 11. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）试求抛物线的解析式； （2）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点N坐标；若不存在，说明理由 12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴交于点A、B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的动点（1）求出二次函数的解析式； （2）连接PO、PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使得四边形POPC为菱形？若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由； 13. 如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D直线y=2x1经过抛物线上一点B（2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方（1）求这个二次函数的表达式 （2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 15. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E（1）求证：点E与点D关于x轴对称； （2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D，点A的对应点A，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将FBC沿BC翻折，使点F落在点F处，在平面内找一点G，若以F、G、D、A为顶点的四边形为菱形，求平移的距离 16. 如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上,且横坐标为1，点 与点 关于抛物线的对称轴对称，直线 与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，点 的坐标为 （1）求线段 的长； （2）点 为线段 上方抛物线上的任意一点，过点 作 的垂线交 于点 ，点 为 轴上一点，当 的面积最大时，求 的最小值； （3）在（2）中， 取得最小值时，将 绕点 顺时针旋转 后得到 ,过点 作 的垂线与直线 交于点 ，点 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使得点 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由. 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值 18. 已知，抛物线y=ax+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式； （2）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，A（2，0）在抛物线上， ，解得： ，抛物线解析式为y= x2 x2；（2）解：令y= x2 x2=0，解得：x1=2，x2=4，当x=0时，y=2，B（4，0），C（0，2），设BC的解析式为y=kx+b，则 ，解得： ，y= x2，设D（m，0），DPy轴，E（m， m2），P（m， m2 m2），OD=4PE，m=4（ m2 m2 m+2），m=5，m=0（舍去），D（5，0），P（5， ），E（5， ），四边形POBE的面积=SOPDSEBD= 5 1 = ；（3）解：存在，设M（n， n2），以BD为对角线，如图1，四边形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n=4+ ，M（ ， ），M，N关于x轴对称，N（ ， ）；以BD为边，如图2，四边形BNDM是菱形，MNBD，MN=BD=MD=1，过M作MHx轴于H，MH2+DH2=DM2 ， 即（ n2）2+（n5）2=12 ， n1=4（不合题意），n2=5.6，N（4.6， ），同理（ n2）2+（4n）2=1，n1=4+ （不合题意，舍去），n2=4 ，N（5 ， ），以BD为边，如图3，过M作MHx轴于H，MH2+BH2=BM