2.2 解析函数与调和函数的关系,一、调和函数,沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。,又称为保守场或者梯度场或者有势场。,(1) 无旋场,考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。,一、调和函数,引例,设该力场为,(1) 无旋场,(2) 无源场,散度为零，,无旋无源力场的势函数 满足,特别地，对于平面力场,即,一、调和函数,则称 为区域 D 内的调和函数。,且满足拉普拉斯 ( Laplace ) 方程：,同理,有,(?),一、调和函数,二、共轭调和函数,条件是：,在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。,则称 v 是 u 的共轭调和函数。,且满足 C - R 方程：,三、构造解析函数,使 解析，且满足指定的条件。,(1) u 和 v 本身必须都是调和函数；,(2) u 和 v 之间必须满足 C - R 方程。,三、构造解析函数,( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ),(1) 由 u 及 C - R 方程,(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：,其中， 已知，而 待定。,(3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数,得到待定函数 v,的两个偏导数：,(C ),方法,三、构造解析函数,(1) 由 u 及 C - R 方程得到待定函数 v 的全微分：,(2) 利用第二类曲线积分(与路径无关) 得到原函数：,其中， 或,故 是调和函数。,由,解,由,由,(2) 求虚部 。,解,(2) 求虚部 。,由,解,(3) 求确定常数 c,根据条件,将 代入得,即得,故 是调和函数。,由,由,由,解,(2) 求虚部 。,由,由,由,故 是解析函数 的实部，,解,(3) 求确定常数 c,根据条件,将 代入得,即得,则梯度,则,