安徽大学安徽大学 0909 高代高代考研试题考研试题 一填空题 1. 2 3 1111 122 ( ) 144 188 x f x x x 的根是 2. 若A为n阶矩阵， 1 2 A ，则 1 * 3AA 3. 向量组 123 , 线性无关，则向量组 112 ， 2123 2， 323 4是线性 4. 设A是实对称矩阵，则二次型 T fX AX变换为 1T fY A Y 的可逆线性变换 为 5. A，B为n阶矩阵，若齐次线性方程组0AX 的解都是0BX 的解，则A的 秩与B的秩的关系 二 （20 分） 1.计算 11121 21222 12 n n n nnnn aaa aaa D aaa ，其中max,1 ij ai nj，,1,2,i jn 2.计算 2 112131 2 2 12232 2 123 1 1 1 n n n nnnn xx xx xx x x xxx xx x D x xx xx xx 三 （20 分） 1.设( )0f x ，( )0g x ，而( ) ( )( )( )( )f x g xf xg xp x，且( )p x是一个不可约 多项式，证明：( ( ), ( )1f x g x。 2.设( )f x为n次复系数多项式，且(0)0f，令( )( )g xxf x，若 ( )( )fx g x，则 ( )g x有1n重零根。 四 （20 分） 已知n阶方阵A的秩为1n， * A为A的伴随矩阵。 （1） 证明： * 0A X 有无穷多解。 （2） 求 * 0A X 的解空间的基础解系。 五 （20 分） 设F为以数域，定义如下： 22 :FF， 11 ( , )( , ) 22 a ba b 这里 2 ( , ),Fa b a bF。证明： （1） 当F是实数域R时， 2 R无的真不变子空间。 （2） 当F是复数域C时， 2 C有的真不变子空间。 六 （20 分） 设n阶方阵A，B，满足ABAB，证明： （1） 1不是B的特征根。 （2） 若B相似于对角矩阵， 则存在可逆阵P， 使 1 P AP ， 1 P BP 均为对角矩阵。 七 （15 分）设二次型 2 1 11 nn iin i ii faxbx x ，其中, a b为实数，问, a b满足什么 条件时，二次型f是正定的。 八 （15 分）设 12 , s 是有限欧式空间V的一个标准正交组，对V， 均有 2 2 1 ( ,) s i i ，那么 12 , s 是V的一个基。