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高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数(一) 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;2、 线性运算:加减法、数乘;3、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;4、 利用坐标做向量的运算:设,则 , ; 5、 向量的模、方向角、投影:1) 向量的模:;2) 两点间的距离公式:3) 方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4) 方向余弦:5) 投影:,其中为向量与的夹角。(二) 数量积,向量积1、 数量积:1)2)2、 向量积:大小:,方向:符合右手规则1)2)运算律:反交换律 (三) 曲面及其方程1、 曲面方程的概念:2、 旋转曲面:(旋转后方程如何写)面上曲线,绕轴旋转一周:绕轴旋转一周:3、 柱面:(特点)表示母线平行于轴,准线为的柱面4、 二次曲面(会画简图)1) 椭圆锥面:2) 椭球面:旋转椭球面:3) *单叶双曲面:4) *双叶双曲面:5) 椭圆抛物面:6) *双曲抛物面(马鞍面):7) 椭圆柱面:8) 双曲柱面:9) 抛物柱面:(四) 空间曲线及其方程1、 一般方程:2、 参数方程:,如螺旋线:3、 空间曲线在坐标面上的投影,消去,得到曲线在面上的投影(五) 平面及其方程(法向量)1、 点法式方程: 法向量:,过点2、 一般式方程:(某个系数为零时的特点)截距式方程:3、 两平面的夹角:, 4、 点到平面的距离:(六) 空间直线及其方程(方向向量)1、 一般式方程:2、 对称式(点向式)方程: 方向向量:,过点3、 参数式方程:4、 两直线的夹角:, 5、 直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角, 第九章 多元函数微分法及其应用(一) 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。2、 多元函数:,图形,定义域:3、 极限:4、 连续:5、 偏导数:6、 方向导数: 其中为的方向角。7、 梯度:,则。8、 全微分:设,则(二) 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、 闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)3、 微分法1) 定义: 2) 复合函数求导:链式法则 若,则 ,3) 隐函数求导:a.两边求偏导,然后解方程(组),b.公式法(三) 应用1、 极值1) 无条件极值:求函数的极值解方程组 求出所有驻点,对于每一个驻点,令, 若,函数有极小值,若,函数有极大值; 若,函数没有极值; 若,不定。2) 条件极值:求函数在条件下的极值令: Lagrange函数解方程组 2、 几何应用1) 曲线的切线与法平面曲线,则上一点(对应参数为)处的切线方程为:法平面方程为:2) 曲面的切平面与法线曲面,则上一点处的切平面方程为: 法线方程为:第十章 重积分(一) 二重积分1、 定义:2、 性质:(6条)3、 几何意义:曲顶柱体的体积。4、 计算:1) 直角坐标X型区域:,Y型区域:,*交换积分次序(课后题)2) 极坐标 (二) 三重积分1、 定义: 2、 性质:3、 计算:1) 直角坐标 -投影法“先一后二” -截面法“先二后一”2) 柱面坐标,3) *球面坐标*(三) 应用曲面的面积:第十一章 曲线积分与曲面积分(一) 对弧长的曲线积分1、 定义:2、 性质:1) 2) 3)在上,若,则4) ( l 为曲线弧 L的长度)3、 计算:设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则(二) 对坐标的曲线积分1、 定义:设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数,在 L 上有界,定义,.向量形式:2、 性质: 用表示的反向弧 , 则3、 计算:设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则4、 两类曲线积分之间的关系:设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,则.(三) 格林公式1、格林公式:设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,则 曲线积分 在内与路径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分(四) 对面积的曲面积分1、 定义:设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,定义 2、 计算:“一单值显函数、二投影、三代入”,则(五) 对坐标的曲面积分1、 预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、 定义:设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义 同理,3、 性质:1),则2)表示与取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算:“一投二代三定号”,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“ + ”, 为下侧取“ - ”.5、 两类曲面积分之间的关系:其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。(六) 高斯公式1、 高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有或2、 *通量与散度*通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:散度:(七) *斯托克斯公式*1、 斯托克斯公式:设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:2、 *环流量与旋度*环流量:向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度:第十二章 无穷级数(一) 常数项级数1、 定义:1)无穷级数:部分和:,正项级数:,交错级数:,2)级数收敛:若存在,则称级数收敛,否则称级数发散3)条件收敛:收敛,而发散;绝对收敛:收敛。2、 性质:1) 改变有限项不影响级数的收敛性;2) 级数,收敛,则收敛;3) 级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;4) 必要条件:级数收敛.(注意:不是充分条件!)3、 审敛法正项级数:,1) 定义:存在;2) 收敛有界;3) 比较审敛法:,为正项级数,且 若收敛,则收敛;若发散,则发散.4) 比较法的推论:,为正项级数,若存在正整数,当时,而收敛,则收敛;若存在正整数,当时,而发散,则发散. 5) 比较法的极限形式:,为正项级数,若,而收敛,则收敛;若或,而发散,则发散.6) 比值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.7) *根值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.8) 极限审敛法:为正项级数,若或,则级数发散;若存在,使得,则级数收敛.交错级数:莱布尼茨审敛法:交错级数:,满足:,且,则级数收敛。任意项级数:绝对收敛,则收敛。常见典型级数:几何级数:p -级数:(二) 函数项级数1、 定义:函数项级数,收敛域,收敛半径,和函数;2、 幂级数:收敛半径的求法:,则收敛半径 3、 泰勒级数 展开步骤:(直接展开法)1) 求出;2) 求出;3) 写出;4) 验证是否成立。间接展开法:(利用已知函数的展开式)1);2);3);4);5)6)7)8)4、 *傅里叶级数*1) 定义:正交系:函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。傅里叶级数:系数: 2) 收敛定理:(展开定理)设 f (x) 是周期为2p的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有3) 傅里叶展开:求出系数:;写出傅里叶级数;根据收敛定理判定收敛性。
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